Résoudre une équation avec $e^{-x}$

Énoncé

Résoudre l'équation e^{-x} = e^2.

Indice : Utilise la propriété e^{-x} = 1{e^x} ou compare directement les exposants.

Correction

1. Étape 1 : Même méthode qu'au 27003, avec une étape de plus : l'exposant contient un signe moins, donc il restera une petite équation à résoudre après comparaison.
2. Étape 2 : On compare les exposants, puisque e^a = e^b équivaut à a = b :

   e^{-x} = e^2 -x = 2

3. Étape 3 : On résout. Multiplier les deux membres par -1 donne :

   x = -2

4. Étape 4 : D'où l'ensemble des solutions :

   S = \{-2\}

5. Étape 5 : Vérification : si x = -2, alors -x = 2 et e^{-x} = e^2. C'est bien l'équation de départ. La comparaison des exposants ne termine pas toujours l'exercice : On obtient -x = 2, pas encore x. Il reste une équation à résoudre. Répondre x = 2 ici est l'erreur la plus fréquente : on s'arrête une ligne trop tôt. Le réflexe qui l'évite : Se demander « ai-je bien x tout seul d'un côté ? » avant d'écrire S. Et vérifier le signe : x = -2 est négatif, donc e^{-x} = e^{2} est grand — cohérent avec e^2 7{,}4.