Résoudre une équation exponentielle simple

Énoncé

Résoudre l'équation e^x = e^3.

Indice : Si e^a = e^b, alors a = b car la fonction exponentielle est strictement croissante.

Correction

1. Étape 1 : Une seule propriété fait tout le chapitre, et elle vient de ce que la courbe monte sans jamais redescendre : deux exposants différents ne peuvent pas donner la même valeur. La règle des exposants : e^a = e^b équivaut à a = b
2. Étape 2 : On applique directement, en comparant les exposants :

   e^x = e^3 x = 3

3. Étape 3 : La solution est donc x = 3 :

   S = \{3\}

4. Étape 4 : Vérification, qui coûte trois secondes : en remplaçant x par 3 dans l'équation de départ, on obtient e^3 = e^3. C'est vrai, donc 3 est bien solution. Ne pas « simplifier par e » : L'erreur classique est d'écrire e^x = e^3 donc x = 3 « en barrant les e ». Le résultat est juste ici, mais le raisonnement est faux et il trompera plus tard : dans e^{2x} = e^3, barrer les e donnerait 2x = 3… ce qui est juste aussi, mais par hasard. Ce qu'on fait vraiment, c'est comparer les EXPOSANTS parce que la fonction est strictement croissante. Toujours revenir à la même forme : Ramener l'équation à e^{quelque chose} = e^{autre chose}, puis égaler les deux exposants. Toutes les équations de ce chapitre se traitent ainsi.