Simplifier des expressions avec exponentielles

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes : a) e^3 e^2 b) e^5{e^2} c) (e^2)^3 d) e^x e^{-x}

Indice : Utilise les propriétés : e^a e^b = e^{a+b}, e^a{e^b} = e^{a-b} et (e^a)^b = e^{ab}.

Correction

1. Étape 1 : Trois règles, et ce sont celles des puissances vues en Seconde. Rien de nouveau à mémoriser : Les trois règles : e^a e^b = e^{a+b} (on ADDITIONNE les exposants) e^a{e^b} = e^{a-b} (on SOUSTRAIT) (e^a)^b = e^{a b} (on MULTIPLIE)
2. Étape 2 : a) Un produit : on additionne.

   e^3 e^2 = e^{3+2} = e^5

3. Étape 3 : b) Un quotient : on soustrait.

   e^5{e^2} = e^{5-2} = e^3

4. Étape 4 : c) Une puissance de puissance : on multiplie.

   (e^2)^3 = e^{2 3} = e^6

5. Étape 5 : d) Encore un produit, donc encore une addition — et les deux exposants s'annulent :

   e^x e^{-x} = e^{x + (-x)} = e^0 = 1

6. Étape 6 : Le d) dit quelque chose d'utile : e^{-x} est l'inverse de e^x, puisque leur produit vaut 1. Ne pas confondre les trois opérations : Le piège est de multiplier les exposants dans un produit : e^3 e^2 ne vaut PAS e^6. Le signe entre les deux dit quoi faire à l'exposant : produit addition, quotient soustraction. Seule la puissance d'une puissance multiplie. Le contrôle sur un petit cas : En cas de doute, remplacer e par 2 : 2^3 2^2 = 8 4 = 32 = 2^5. On additionne bien. Les puissances de 2 se calculent de tête et tranchent en trois secondes.