Retrouver a et c sur une parabole

Énoncé

La parabole ci-dessous représente une fonction f de la forme f(x) = ax² + c. Elle a pour sommet le point (0 ; -2) et passe par le point (2 ; 6). a) Que vaut c ? Justifier. b) Déterminer a à l'aide du point (2 ; 6). c) Le signe de a est-il cohérent avec le dessin ? d) Résoudre l'équation f(x) = 0, et repérer ses solutions sur le dessin.

Indice : Pour la forme ax² + c, le sommet est le point (0 ; c). Pour b), écris que f(2) = 6.

Correction

  1. Étape 1 : Une fonction de la forme ax² + c n'a que deux coefficients à trouver. Le sommet donne c sans calcul ; un second point de la courbe donne alors une équation dont la seule inconnue est a. La forme ax² + c : La parabole de x ↦ ax² + c a pour sommet (0 ; c) et pour axe de symétrie la droite x = 0 ; elle est tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
  2. Étape 2 : a) Le sommet d'une parabole de la forme ax² + c est le point (0 ; c). Ici le sommet est (0 ; -2), donc :

    c = f(0) = -2

  3. Étape 3 : b) La parabole passe par (2 ; 6), donc f(2) = 6. On remplace x par 2 et c par -2 :

    a × 2² - 2 = 6 ⟺ 4a = 8 ⟺ a = 2

  4. Étape 4 : D'où l'expression de f :

    f(x) = 2x² - 2

  5. Étape 5 : c) a = 2 > 0 : la parabole doit être tournée vers le haut, ce que montre bien le dessin. Le sommet (0 ; -2) est alors le point le plus bas de la courbe, et -2 est le minimum de f.
  6. Étape 6 : d) On isole x², puis on cherche les nombres dont le carré vaut 1 :

    2x² - 2 = 0 ⟺ x² = 1 ⟺ x = 1 ou x = -1

  7. Étape 7 : Les solutions -1 et 1 sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe des abscisses. Sur le dessin, ces deux points sont bien symétriques par rapport à l'axe x = 0.
  8. Étape 8 : Contrôle avec le second point : f(2) = 2 × 4 - 2 = 6, et par symétrie f(-2) = 6 aussi. L'abscisse va dans f, l'ordonnée est le résultat : Le point (2 ; 6) signifie f(2) = 6, et non f(6) = 2. Écrire 36a - 2 = 2 donnerait a = 1/9 : une parabole très évasée, qui passerait par (3 ; -1) au lieu de (3 ; 16). Lire a sur un point : Pour f(x) = ax² + c, chaque point (x₀ ; y₀) de la courbe donne a x₀² + c = y₀. Avec le sommet pour c et un autre point pour a, l'expression est entièrement déterminée.