Chiffre d'affaires et prix de vente

Énoncé

Un artisan vend des objets. S'il fixe le prix à p euros (avec 0 ≤ p ≤ 60), il en vend 120 - 2p par mois. a) Montrer que le chiffre d'affaires mensuel est R(p) = -2p(p - 60). b) Pour quels prix le chiffre d'affaires est-il nul ? Interpréter. c) Quel prix maximise le chiffre d'affaires ? Quel est ce maximum ? d) Vérifier que R(p) - 1 600 = -2(p - 20)(p - 40). Pour quels prix le chiffre d'affaires est-il d'au moins 1 600 € ?

Indice : Le chiffre d'affaires est le prix multiplié par le nombre d'objets vendus. Le maximum est au milieu des racines.

Correction

1. Étape 1 : Un prix trop bas ne rapporte rien par objet, un prix trop haut fait fuir les acheteurs : entre les deux, le chiffre d'affaires passe par un maximum. La forme factorisée donne les deux prix « extrêmes » et, au milieu, le meilleur prix. Racines et sommet : Pour a(x - x₁)(x - x₂) : racines x₁ et x₂, axe au milieu ; si a < 0, maximum au sommet, et la fonction est positive entre les racines.
2. Étape 2 : a) Chiffre d'affaires = prix × quantité vendue. On développe, puis on factorise par -2p :

   R(p) = p(120 - 2p) = 120p - 2p² = -2p(p - 60)

3. Étape 3 : Contrôle de la factorisation : -2p × p = -2p² et -2p × (-60) = 120p. b) Par la règle du produit nul, R(p) = 0 pour p = 0 ou p = 60.
4. Étape 4 : Interprétation : à 0 €, les objets sont donnés, donc rien n'est gagné ; à 60 €, l'artisan en vend 120 - 120 = 0, donc rien n'est vendu.
5. Étape 5 : c) L'axe de symétrie passe au milieu des racines, en p = 30. Comme a = -2 < 0, le chiffre d'affaires y est maximal :

   R(30) = -2 × 30 × (30 - 60) = -60 × (-30) = 1 800

6. Étape 6 : d) On développe la forme proposée :

   -2(p - 20)(p - 40) = -2(p² - 60p + 800) = -2p² + 120p - 1 600 = R(p) - 1 600

7. Étape 7 : Le coefficient -2 étant négatif, -2(p - 20)(p - 40) est positif ou nul entre les racines, bornes comprises. Donc R(p) ≥ 1 600 pour :

   20 ≤ p ≤ 40

8. Étape 8 : En clair : au prix de 30 €, l'artisan vend 60 objets et réalise le chiffre d'affaires maximal, 1 800 € ; il atteint au moins 1 600 € pour tout prix entre 20 et 40 €, bornes comprises. Contrôle : R(20) = 20 × 80 = 1 600 et R(40) = 40 × 40 = 1 600. Le maximum porte sur le chiffre d'affaires, pas sur la quantité : Le nombre d'objets vendus, 120 - 2p, est maximal pour p = 0 — mais il ne rapporte rien. C'est le PRODUIT prix × quantité qu'on optimise, et son maximum est au milieu. Deux prix, un même chiffre d'affaires : 20 € et 40 € donnent le même chiffre d'affaires, car ils sont symétriques par rapport à 30. Vendre plus cher et moins d'objets peut rapporter autant : le choix dépend alors d'autres critères, comme le stock.