La forme ax² + c

Énoncé

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = -x² + 4. a) Dans quel sens sa parabole est-elle tournée ? Quels sont son sommet et son axe de symétrie ? b) Vérifier que f(x) = -(x - 2)(x + 2), puis donner les racines de f. c) Pour quelles valeurs de x a-t-on f(x) > 0 ?

Indice : Pour la forme ax² + c, le sommet est (0 ; c). Pour b), utilise (x - 2)(x + 2) = x² - 4.

Correction

1. Étape 1 : La forme ax² + c donne le sommet sans calcul ; la forme factorisée donne les racines et le signe. On passe de l'une à l'autre par une identité remarquable. La forme ax² + c : La parabole de x ↦ ax² + c a pour sommet (0 ; c) et pour axe de symétrie la droite x = 0.
2. Étape 2 : a) Ici a = -1 < 0, donc la parabole est tournée vers le bas. Comme f(x) = -x² + 4 est de la forme ax² + c avec c = 4 :

   S(0 ; 4) axe : x = 0

3. Étape 3 : La fonction admet donc un maximum, égal à 4, atteint en x = 0. b) On développe avec l'identité (x - 2)(x + 2) = x² - 4 :

   -(x - 2)(x + 2) = -(x² - 4) = -x² + 4 = f(x)

4. Étape 4 : Par la règle du produit nul, f(x) = 0 pour x - 2 = 0 ou x + 2 = 0 :

   x = 2 ou x = -2

5. Étape 5 : c) Comme a = -1 < 0, le produit -(x - 2)(x + 2) est du signe de a (négatif) à l'extérieur des racines, et du signe contraire (positif) entre elles :

   f(x) > 0 ⟺ -2 < x < 2

6. Étape 6 : Contrôle : f(0) = 4 > 0 et 0 est bien entre -2 et 2 ; f(3) = -9 + 4 = -5 < 0 et 3 est bien à l'extérieur. Deux racines opposées, pas une seule : -x² + 4 = 0 donne x² = 4, donc x = 2 ET x = -2. Oublier -2 ferait conclure à tort que f(x) > 0 pour tout x < 2, alors que f(-3) = -5 < 0. Le dessin résume tout : Une parabole tournée vers le bas, de sommet (0 ; 4), qui coupe l'axe des abscisses en -2 et 2 : elle n'est au-dessus de l'axe qu'entre ces deux points.