L'arche d'un pont

Énoncé

L'arche d'un pont est modélisée par la parabole de la fonction f(x) = a x(x - 40), pour x compris entre 0 et 40 (en mètres). Ses pieds sont aux points d'abscisses 0 et 40, et son sommet est à 10 m de hauteur. a) Déterminer l'axe de symétrie de l'arche et l'abscisse de son sommet. b) En déduire la valeur de a. c) Calculer la hauteur de l'arche à 10 m d'un de ses pieds. d) Un camion de 4 m de large et de 7 m de haut se présente au centre de l'arche. Peut-il passer ?

Indice : Le sommet est au milieu des pieds. Pour d), le camion occupe les abscisses de 18 à 22 : où l'arche est-elle la plus basse au-dessus de lui ?

Correction

1. Étape 1 : La forme factorisée donne les pieds de l'arche, donc l'axe de symétrie au milieu ; la hauteur du sommet donne alors le coefficient a. Pour le camion, la question est de savoir où l'arche est la plus basse au-dessus de lui : aux bords, pas au centre. Axe et sommet : La parabole de a(x - x₁)(x - x₂) a pour axe la droite x = (x₁ + x₂)/2 ; si a < 0, elle est croissante puis décroissante.
2. Étape 2 : a) Les racines de f sont 0 et 40 (les pieds). L'axe de symétrie passe au milieu :

   x = (0 + 40)/2 = 20

3. Étape 3 : b) Le sommet a pour abscisse 20 et pour ordonnée 10, donc f(20) = 10 :

   a × 20 × (20 - 40) = 10 ⟺ -400a = 10 ⟺ a = -10/400 = -0,025

4. Étape 4 : Le coefficient est bien négatif, comme il se doit pour une arche tournée vers le bas. c) À 10 m d'un pied, x = 10 :

   f(10) = -0,025 × 10 × (10 - 40) = -0,25 × (-30) = 7,5

5. Étape 5 : L'arche mesure 7,5 m de haut à 10 m d'un pied — et aussi en x = 30, par symétrie. d) Le camion, centré en x = 20 et large de 4 m, occupe les abscisses de 18 à 22. Comme f est croissante jusqu'à 20 puis décroissante, l'arche est la plus basse au-dessus du camion à ses bords :

   f(18) = -0,025 × 18 × (-22) = 0,025 × 396 = 396/40 = 9,9

6. Étape 6 : Le calcul se fait de tête : 18 × 22 = 396, et multiplier par 0,025 = 1/40 revient à diviser par 40. Par symétrie, f(22) = 9,9 aussi. Au-dessus des bords du camion, l'arche est à 9,9 m, plus haut que les 7 m du camion : il passe, avec près de 3 m de marge.
7. Étape 7 : En clair : l'arche a pour équation f(x) = -0,025 x(x - 40) ; le camion passe au centre sans difficulté. Vérifier aux bords, pas au centre : Au centre, l'arche fait 10 m ; au-dessus des bords du camion, seulement 9,9 m. Un camion de 9,95 m de haut passerait au centre… mais toucherait l'arche par ses coins. C'est donc là où l'arche est la plus basse au-dessus du camion qu'il faut vérifier. Le signe de a se contrôle : Une arche tournée vers le bas exige a < 0. Trouver a > 0 signalerait une erreur de signe dans f(20). Ce contrôle ne coûte rien et évite d'enchaîner toute la suite sur une valeur fausse.