La hauteur d'une fusée à eau

Énoncé

Une fusée à eau est lancée verticalement depuis le sol. Tant qu'elle est en l'air, sa hauteur (en mètres) au bout de t secondes est h(t) = -5t² + 30t. a) Factoriser h(t), puis déterminer à quel instant la fusée retombe au sol. b) Déterminer la hauteur maximale atteinte, et à quel instant. c) Vérifier que h(t) - 40 = -5(t - 2)(t - 4). En déduire pendant combien de temps la fusée est à au moins 40 m du sol.

Indice : Pour a), mets -5t en facteur. Pour c), étudie le signe de -5(t - 2)(t - 4).

Correction

  1. Étape 1 : Trois questions, un seul outil : la forme factorisée. Elle donne les instants où la hauteur vaut 0 (les racines), l'instant du maximum (au milieu des racines) et, pour la c), le signe de h(t) - 40. Sommet d'une parabole : L'axe de symétrie passe au milieu des racines. Si a < 0, la fonction atteint son maximum au sommet.
  2. Étape 2 : a) On met -5t en facteur :

    h(t) = -5t² + 30t = -5t(t - 6)

  3. Étape 3 : Par la règle du produit nul, h(t) = 0 pour t = 0 (le lancer) ou t = 6 : la fusée retombe au sol au bout de 6 secondes. Le modèle vaut donc pour 0 ≤ t ≤ 6.
  4. Étape 4 : b) L'axe de symétrie passe au milieu de 0 et 6, en t = 3. Comme a = -5 < 0, la hauteur y est maximale :

    h(3) = -5 × 3 × (3 - 6) = -15 × (-3) = 45

  5. Étape 5 : La fusée atteint donc sa hauteur maximale, 45 m, au bout de 3 secondes. c) On développe la forme proposée :

    -5(t - 2)(t - 4) = -5(t² - 6t + 8) = -5t² + 30t - 40 = h(t) - 40

  6. Étape 6 : La fusée est à au moins 40 m quand h(t) - 40 ≥ 0. Le coefficient -5 étant négatif, le produit est positif entre les racines 2 et 4 :

    t 0 2 4 6 ; -5 - | - | - ; t - 2 - 0 + | + ; t - 4 - | - 0 + ; h(t) - 40 - 0 + 0 -

  7. Étape 7 : Donc h(t) ≥ 40 pour 2 ≤ t ≤ 4 : la fusée reste à au moins 40 m pendant 4 - 2 = 2 secondes.
  8. Étape 8 : En clair : la fusée monte 3 s jusqu'à 45 m, redescend, et touche le sol à 6 s ; elle passe 2 s au-dessus de 40 m, de t = 2 à t = 4 — deux instants symétriques par rapport à t = 3. Un temps n'est pas une hauteur : L'abscisse du sommet, 3, répond à « à quel instant ? » ; son ordonnée, 45, répond à « quelle hauteur ? ». Répondre « la hauteur maximale est 3 » confond les deux coordonnées. La symétrie comme contrôle : t = 2 et t = 4 sont à égale distance de t = 3 : la fusée passe à 40 m en montant et en descendant. Des solutions qui ne seraient pas symétriques par rapport à l'axe signaleraient une erreur.