Racines, axe et sommet d'une forme factorisée

Énoncé

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 2(x + 1)(x - 3). a) Déterminer les racines de f. b) Déterminer l'axe de symétrie et le sommet de sa parabole. c) Calculer f(0), puis dresser le tableau de variations de f.

Indice : Les racines se lisent en résolvant « facteur = 0 ». L'axe passe au milieu des racines.

Correction

1. Étape 1 : Une forme factorisée donne les racines directement, et les deux points (x₁ ; 0) et (x₂ ; 0) sont à la même hauteur : l'axe passe au milieu. Tout le reste s'en déduit. Forme factorisée : La parabole de a(x - x₁)(x - x₂) coupe l'axe des abscisses en x₁ et x₂ ; son axe de symétrie est la droite x = (x₁ + x₂)/2.
2. Étape 2 : a) Le coefficient 2 ne s'annule pas. Par la règle du produit nul, f(x) = 0 si x + 1 = 0 ou x - 3 = 0 :

   x = -1 ou x = 3

3. Étape 3 : b) L'axe de symétrie passe au milieu des racines :

   x = (-1 + 3)/2 = 1

4. Étape 4 : Le sommet est sur l'axe ; on calcule l'image de 1 :

   f(1) = 2 × (1 + 1) × (1 - 3) = 2 × 2 × (-2) = -8 S(1 ; -8)

5. Étape 5 : c) L'image de 0 :

   f(0) = 2 × 1 × (-3) = -6

6. Étape 6 : Comme a = 2 > 0, la parabole est tournée vers le haut : f est décroissante puis croissante, avec un minimum en x = 1.

   x -∞ 1 +∞ ; f(x) ↘ -8 ↗

7. Étape 7 : Contrôle par développement : 2(x + 1)(x - 3) = 2(x² - 2x - 3) = 2x² - 4x - 6. Le terme constant vaut bien -6 = f(0). Le coefficient n'est pas une racine : Le 2 placé devant ne s'annule jamais : il ne donne aucune racine, mais il compte dans le calcul du sommet. L'oublier donnerait f(1) = -4 au lieu de -8. Le milieu des racines : L'axe est au milieu des racines : (-1 + 3)/2 = 1. Attention au signe de -1 : additionner 1 + 3 donnerait l'axe x = 2, qui est faux.