Trouver l'axe de symétrie en résolvant f(x) = c

Énoncé

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 2x² - 8x + 3. a) Calculer f(0). b) Résoudre l'équation f(x) = 3. c) En déduire l'axe de symétrie de la parabole, puis les coordonnées de son sommet. d) Dresser le tableau de variations de f.

Indice : Dans f(x) = 3, le 3 disparaît des deux côtés : il reste une équation qu'on factorise par x.

Correction

1. Étape 1 : Aucune formule n'est nécessaire pour l'axe de symétrie : il suffit de trouver deux points de la parabole à la même hauteur. Le point (0 ; f(0)) en est un ; résoudre f(x) = f(0) donne l'autre. Axe de symétrie : Si deux points distincts de la parabole ont la même ordonnée, l'axe de symétrie passe au milieu de leurs abscisses, et le sommet est sur cet axe.
2. Étape 2 : a) On remplace x par 0 :

   f(0) = 2 × 0² - 8 × 0 + 3 = 3

3. Étape 3 : b) On résout f(x) = 3. Le terme constant disparaît, puis on factorise par 2x :

   2x² - 8x + 3 = 3 ⟺ 2x² - 8x = 0 ⟺ 2x(x - 4) = 0

4. Étape 4 : Par la règle du produit nul :

   x = 0 ou x = 4

5. Étape 5 : c) Les points (0 ; 3) et (4 ; 3) sont sur la parabole, à la même hauteur. L'axe de symétrie passe donc au milieu de 0 et 4 :

   x = (0 + 4)/2 = 2

6. Étape 6 : Le sommet est sur cet axe ; son ordonnée est l'image de 2 :

   f(2) = 2 × 4 - 8 × 2 + 3 = 8 - 16 + 3 = -5 S(2 ; -5)

7. Étape 7 : d) Comme a = 2 > 0, la parabole est tournée vers le haut : f est décroissante puis croissante, et son minimum est l'ordonnée du sommet.

   x -∞ 2 +∞ ; f(x) ↘ -5 ↗

8. Étape 8 : En clair : f atteint son minimum, -5, en x = 2. Contrôle de la symétrie : f(1) = 2 - 8 + 3 = -3 et f(3) = 18 - 24 + 3 = -3. Deux abscisses à égale distance de 2 donnent bien la même image. Ne pas diviser par x : Diviser par 2x ne laisse que x = 4 : croyant n'avoir qu'un point, on le prend pour le sommet et l'on conclut à l'axe x = 4. Or x = 0 est aussi solution — c'est le point (0 ; 3) de la question a) — et l'axe est x = 2 ; d'ailleurs f(2) = -5 < 3, donc (4 ; 3) n'est pas le point le plus bas. La méthode marche toujours : Pour f(x) = ax² + bx + c, l'équation f(x) = c se ramène à x(ax + b) = 0. Si b ≠ 0, ses deux solutions, 0 et une autre, encadrent l'axe ; si b = 0, la seule solution est 0 et le sommet est le point (0 ; c) lui-même. C'est ce que demande le programme, à la place de toute formule.