Associer une parabole à son expression

Énoncé

La parabole ci-dessous représente l'une des quatre fonctions suivantes. Laquelle ? Justifier. f₁(x) = (x + 3)(x - 1) ; f₂(x) = -(x - 3)(x + 1) ; f₃(x) = -(x + 3)(x - 1) ; f₄(x) = -x² + 4

Indice : Lis sur la courbe le sens d'ouverture (signe de a), puis les points où elle coupe l'axe des abscisses (les racines).

Correction

  1. Étape 1 : On ne trace pas les quatre courbes : on élimine à l'aide des informations lisibles sur le dessin, puis on contrôle le candidat restant. Ce qu'une parabole révèle : Le sens d'ouverture donne le signe de a. Les points d'intersection avec l'axe des abscisses donnent les racines. Le point d'intersection avec l'axe des ordonnées donne f(0).
  2. Étape 2 : Le sens d'ouverture. La parabole est tournée vers le bas, donc a < 0. Or f₁(x) = (x + 3)(x - 1) a pour coefficient a = 1 > 0 : f₁ est éliminée.
  3. Étape 3 : Les racines. La courbe coupe l'axe des abscisses en -3 et en 1. Or f₂ s'annule quand x - 3 = 0 ou x + 1 = 0, c'est-à-dire en 3 et en -1 : éliminée.
  4. Étape 4 : Pour f₄ : -x² + 4 = 0 ⟺ x² = 4 ⟺ x = 2 ou x = -2. Ce ne sont pas -3 et 1, donc f₄ est éliminée — et son sommet serait (0 ; 4), sur l'axe des ordonnées, ce que le dessin dément.
  5. Étape 5 : Le candidat restant. f₃(x) = -(x + 3)(x - 1) s'annule en -3 et en 1, et son coefficient a = -1 est négatif. On contrôle avec le point d'intersection avec l'axe des ordonnées :

    f₃(0) = -(0 + 3)(0 - 1) = -(3) × (-1) = 3

  6. Étape 6 : Et le sommet : il est sur l'axe, au milieu des racines, en x = (-3 + 1)/2 = -1, avec f₃(-1) = -(2)(-2) = 4. Le sommet (-1 ; 4) et le point (0 ; 3) correspondent au dessin : la parabole représente donc f₃.
  7. Étape 7 : Réponse : f₃, la seule qui a à la fois le bon sens d'ouverture et les bonnes racines. Le piège de f₂ : f₂ fait apparaître les nombres 3 et 1, comme les racines lues sur le dessin… mais elle s'annule en 3 et en -1. Traduire la racine -3 par le facteur (x - 3) est l'erreur classique : une racine se lit en résolvant « parenthèse = 0 », et x - 3 = 0 donne x = 3. Croiser plusieurs indices : Un seul indice laisse souvent plusieurs candidats : le sens d'ouverture élimine f₁, les racines éliminent f₂ et f₄. Et un dernier contrôle (f(0), le sommet) transforme une élimination en certitude.