Problème d'optimisation

Énoncé

Une entreprise produit et vend x objets par jour. Le bénéfice quotidien (en euros) est donné par B(x) = -x^2 + 100x - 2000. a) Pour quelles valeurs de x l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif ? b) Quel est le bénéfice maximal et pour quelle quantité d'objets est-il atteint ?

Indice : Pour a), résous B(x) > 0. Pour b), trouve le sommet de la parabole (maximum car a < 0).

Correction

1. Étape 1 : **a)** On résout B(x) > 0, c'est-à-dire -x^2 + 100x - 2000 > 0.

   = 10000 - 8000 = 2000

2. Étape 2 : Les racines sont :

   x_1 = -100 - {2000}{-2} 22{,}4 et x_2 = -100 + {2000}{-2} 77{,}6

3. Étape 3 : Comme a = -1 < 0, B(x) > 0 entre les racines :

   22{,}4 < x < 77{,}6

4. Étape 4 : **b)** Le bénéfice maximal est atteint au sommet de la parabole. L'abscisse du sommet est :

   x_S = -b{2a} = -100{2 (-1)} = 50

5. Étape 5 : Le bénéfice maximal est :

   B(50) = -50^2 + 100 50 - 2000 = -2500 + 5000 - 2000 = 500

6. Étape 6 : Le bénéfice maximal est de 500 € et est atteint pour 50 objets produits par jour.