Problème d'optimisation

Énoncé

Une entreprise produit et vend x objets par jour. Le bénéfice quotidien (en euros) est donné par B(x) = -x^2 + 100x - 2000. a) Pour quelles valeurs de x l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif ? b) Quel est le bénéfice maximal et pour quelle quantité d'objets est-il atteint ?

Indice : Pour a), résous B(x) > 0. Pour b), trouve le sommet de la parabole (maximum car a < 0).

Correction

  1. Étape 1 : Deux questions de nature différente : la a) est une inéquation, la b) cherche un maximum — donc le sommet de la parabole. Et comme x compte des objets, il faudra revenir aux entiers à la fin.
  2. Étape 2 : a) On cherche où B(x) > 0, avec a = -1, b = 100, c = -2000 :

    = 100^2 - 4 (-1) (-2000) = 10\,000 - 8\,000 = 2\,000

  3. Étape 3 : > 0, et 2000 44{,}72. Le dénominateur 2a vaut -2, donc le signe moins échange les deux racines :

    x_1 = -100 + 44{,72}{-2} 27{,}64 x_2 = -100 - 44{,72}{-2} 72{,}36

  4. Étape 4 : Comme a = -1 < 0, la parabole est tournée vers le bas : le bénéfice est positif entre les racines.

    27{,}64 < x < 72{,}36

  5. Étape 5 : Retour au contexte, et c'est indispensable. x est un nombre d'objets, donc un entier. L'entreprise est bénéficiaire de 28 à 72 objets par jour :

    x \{28,\ 29,\ ,\ 72\}

  6. Étape 6 : Vérification aux bornes, qui est ce qui rend l'arrondi sûr : B(27) = -29 (perte) mais B(28) = +16 ; et B(72) = +16 mais B(73) = -29. Les entiers retenus sont donc les bons.
  7. Étape 7 : b) Le maximum d'une parabole tournée vers le bas est atteint à son sommet :

    x_S = -b{2a} = -100{2 (-1)} = 50

  8. Étape 8 : On calcule le bénéfice correspondant :

    B(50) = -2\,500 + 5\,000 - 2\,000 = 500

  9. Étape 9 : Le bénéfice maximal est de 500 € par jour, pour 50 objets produits. Une réponse concrète doit être concrète : « 27{,}64 < x < 72{,}36 » n'a pas de sens : on ne produit pas 27{,}64 objets. Un nombre d'objets, de personnes ou de jours est un ENTIER, et l'arrondi ne se devine pas — on teste les deux entiers voisins, comme ci-dessus. Vers l'intérieur pour une borne inférieure, vers l'intérieur aussi pour la borne supérieure. Le sommet est au MILIEU des racines : 27{,64 + 72{,}36}{2} = 50 : on retrouve x_S sans la formule. La parabole étant symétrique, cette égalité vaut toujours — et elle contrôle d'un coup les racines ET le sommet.