Résoudre une inéquation avec fraction

Énoncé

Résoudre l'inéquation x^2 - 5x + 6{x - 1} 0.

Indice : Étudie le signe du numérateur et du dénominateur séparément, puis utilise un tableau de signes. Attention aux valeurs interdites !

Correction

  1. Étape 1 : Un QUOTIENT change de signe à deux sortes d'endroits : là où le numérateur s'annule, et là où le dénominateur s'annule. La méthode est donc de dresser un tableau contenant toutes ces valeurs. Ne JAMAIS multiplier par le dénominateur : Multiplier par x - 1 suppose de connaître son signe — or il change. On ferait donc une inégalité fausse sur la moitié de la droite. Le tableau de signes est la seule méthode sûre.
  2. Étape 2 : La valeur interdite d'abord. Le dénominateur ne doit pas être nul :

    x - 1 0 x 1

  3. Étape 3 : On factorise le numérateur, dont les racines sont 2 et 3 (exercice 26007) :

    x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)

  4. Étape 4 : Trois valeurs remarquables apparaissent donc, dans l'ordre : 1 (interdite), 2 et 3 (racines du numérateur). Elles découpent la droite en quatre intervalles.
  5. Étape 5 : Le tableau, une ligne par facteur, puis la ligne du quotient obtenue par la règle des signes :

    array{c|ccccccccc} x & - & & 1 & & 2 & & 3 & & + x-1 & & - & 0 & + & + & + & + & + & x-2 & & - & - & - & 0 & + & + & + & x-3 & & - & - & - & - & - & 0 & + & quotient & & - & || & + & 0 & - & 0 & + & array

  6. Étape 6 : On lit les zones où le quotient est positif ou nul, en excluant 1 où il n'est pas défini (d'où la double barre) et en incluant 2 et 3 où il s'annule :

    S = ]\,1\ ;\ 2\,] \ \ [\,3\ ;\ +\,[

  7. Étape 7 : Contrôle sur quatre valeurs, une par intervalle. x = 0 6{-1} = -6 < 0 (exclu) · x = 1{,}5 0{,75}{0{,}5} = 1{,}5 > 0 (inclus) · x = 2{,}5 -0{,25}{1{,}5} < 0 (exclu) · x = 4 2{3} > 0 (inclus). Les quatre confirment le tableau. Crochets : deux règles différentes selon l'origine de la valeur : Une racine du NUMÉRATEUR annule le quotient : avec un , elle est incluse — d'où 2\,] et [\,3. Une racine du DÉNOMINATEUR est toujours exclue, quel que soit le symbole — d'où ]\,1. et la double barre dans le tableau.