Résoudre une inéquation avec fraction

Énoncé

Résoudre l'inéquation x^2 - 5x + 6{x - 1} 0.

Indice : Étudie le signe du numérateur et du dénominateur séparément, puis utilise un tableau de signes. Attention aux valeurs interdites !

Correction

1. Étape 1 : Le dénominateur doit être non nul : x - 1 0, donc x 1.
2. Étape 2 : On factorise le numérateur : x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).
3. Étape 3 : On étudie le signe de chaque facteur :

   x - 2 = 0 x = 2 x - 3 = 0 x = 3 x - 1 = 0 x = 1

4. Étape 4 : Tableau de signes :

   array{c|cccccc} x & - & & 1 & & 2 & & 3 & & + x-2 & & - & - & - & 0 & + & + & + x-3 & & - & - & - & - & - & 0 & + x-1 & & - & 0 & + & + & + & + & + Quotient & & - & || & + & 0 & - & 0 & + array

5. Étape 5 : Le quotient est positif ou nul pour 1 < x 2 ou x 3. Mais x = 1 est exclu.

   S = ]1 ; 2] [3 ; +[