Étudier le signe avec discriminant négatif

Énoncé

Étudier le signe du trinôme f(x) = x^2 + 2x + 3.

Indice : Calcule . Si < 0, le signe est celui de a pour tout x.

Correction

1. Étape 1 : Le troisième cas du discriminant : celui où il n'y a aucune racine. Le trinôme garde alors le même signe partout, et ce signe est celui de a.
2. Étape 2 : On calcule avec a = 1, b = 2, c = 3 :

   = 2^2 - 4 1 3 = 4 - 12 = -8

3. Étape 3 : = -8 < 0 : la parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses. Le trinôme ne s'annule nulle part.
4. Étape 4 : Puisqu'il ne change jamais de signe, il suffit d'en connaître un seul pour les connaître tous. Comme a = 1 > 0, la parabole est tournée vers le haut et reste entièrement au-dessus de l'axe :

   f(x) > 0 pour tout x R

5. Étape 5 : Le tableau tient en une seule colonne, puisqu'il n'y a aucune racine où couper :

   array{c|ccc} x & - & & + f(x) & & + & array

6. Étape 6 : Contrôle en deux points, aux extrémités du raisonnement : f(0) = 3 > 0 et f(-1) = 1 - 2 + 3 = 2 > 0. Le minimum du trinôme vaut d'ailleurs f(-1) = 2, atteint au sommet x = -b{2a} = -1 : il ne descend jamais en dessous de 2. < 0 ne veut pas dire « pas de signe » : Le trinôme a un signe parfaitement défini — il est constant. Répondre « on ne peut pas conclure » est l'erreur classique : c'est au contraire le cas le plus simple, puisqu'un seul point suffit à trancher. Un contrôle qui remplace tout le raisonnement : Calculer f(0) = c : ici 3 > 0. Comme le trinôme ne s'annule jamais, il ne peut pas changer de signe — donc il est positif partout. Un seul calcul, et la réponse est là.