Déterminer un paramètre

Énoncé

Déterminer la valeur du paramètre m pour que l'équation x^2 - 4x + m = 0 admette une solution double.

Indice : Une solution double correspond à = 0. Calcule en fonction de m et résous = 0.

Correction

1. Étape 1 : L'inconnue n'est plus x mais le paramètre m. Le raisonnement s'inverse : on part de la CONDITION demandée — « une solution double » — et l'on remonte à m. Or « solution double » se traduit par une égalité : = 0.
2. Étape 2 : On exprime en fonction de m, avec a = 1, b = -4, c = m :

   = (-4)^2 - 4 1 m = 16 - 4m

3. Étape 3 : On pose la condition et l'on résout :

   16 - 4m = 0 4m = 16 m = 4

4. Étape 4 : Vérification. Pour m = 4, l'équation devient x^2 - 4x + 4 = 0, dont le discriminant vaut 16 - 16 = 0 : elle a bien une solution double, x = 2. C'est exactement l'exercice 26006.

   m = 4

5. Étape 5 : Les deux autres cas se traitent pareil, en changeant le symbole : 16 - 4m > 0 donne m < 4 (deux solutions) et 16 - 4m < 0 donne m > 4 (aucune). Un seul calcul répond donc aux trois questions possibles. Ne pas chercher à résoudre l'équation en x : Avec m inconnu, on ne PEUT pas trouver x : c'est m qui est demandé. Le seul outil est la condition sur , qui relie le nombre de solutions au paramètre sans jamais calculer les solutions elles-mêmes. Traduire l'énoncé en condition sur : « une solution double » = 0 « deux solutions distinctes » > 0 « aucune solution réelle » < 0 Tous les exercices à paramètre de ce chapitre se ramènent à l'un des trois.