Problème de géométrie

Énoncé

Un rectangle a un périmètre de 20 cm. On note x la longueur (en cm). a) Exprimer la largeur en fonction de x. b) Exprimer l'aire A(x) en fonction de x. c) Pour quelles valeurs de x l'aire est-elle supérieure à 21 cm² ?

Indice : Utilise le périmètre pour exprimer la largeur, puis l'aire. Résous ensuite l'inéquation A(x) > 21.

Correction

1. Étape 1 : Un problème de modélisation. Trois temps : traduire l'énoncé en formules, poser l'inéquation, puis revenir au contexte — car toute valeur de x ne correspond pas à un rectangle.
2. Étape 2 : a) Le périmètre d'un rectangle vaut 2 (longueur + largeur) :

   2(x + ) = 20 x + = 10 = 10 - x

3. Étape 3 : Le domaine. Une largeur est strictement positive, donc 10 - x > 0, et une longueur aussi. Les valeurs utilisables sont donc :

   0 < x < 10

4. Étape 4 : b) L'aire est le produit des deux côtés :

   A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2 = -x^2 + 10x

5. Étape 5 : c) On traduit « aire supérieure à 21 » et l'on ramène tout d'un côté :

   -x^2 + 10x > 21 -x^2 + 10x - 21 > 0

6. Étape 6 : On multiplie par -1 en retournant le sens, puis on cherche les racines :

   x^2 - 10x + 21 < 0 = 100 - 84 = 16

7. Étape 7 : 16 = 4 :

   x_1 = 10 - 4{2} = 3 x_2 = 10 + 4{2} = 7

8. Étape 8 : Comme a = 1 > 0, le trinôme est négatif entre les racines. Et ]3\,;\,7[ est bien inclus dans le domaine ]0\,;\,10[, donc toutes ces valeurs correspondent à de vrais rectangles :

   3 < x < 7

9. Étape 9 : Contrôle : pour x = 5, l'aire vaut 5 5 = 25 > 21. Pour x = 3, elle vaut 3 7 = 21, donc pas STRICTEMENT supérieure — la borne est bien exclue. Un problème concret impose toujours un domaine : Sans la condition 0 < x < 10, une valeur comme x = 12 donnerait une largeur de -2 cm. Ici l'oubli est sans conséquence, car les solutions y tombent d'elles-mêmes. Mais le réflexe doit être pris : poser le domaine AVANT de résoudre, pas après. Une symétrie à remarquer : x = 4 donne un rectangle 4 6, et x = 6 un rectangle 6 4 : c'est le MÊME rectangle, d'aire 24. L'aire est donc symétrique autour de x = 5, où elle est maximale (25 cm², le carré). C'est ce que dit le sommet de la parabole.