Problème de géométrie

Énoncé

Un rectangle a un périmètre de 20 cm. On note x la longueur (en cm). a) Exprimer la largeur en fonction de x. b) Exprimer l'aire A(x) en fonction de x. c) Pour quelles valeurs de x l'aire est-elle supérieure à 21 cm² ?

Indice : Utilise le périmètre pour exprimer la largeur, puis l'aire. Résous ensuite l'inéquation A(x) > 21.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Si le périmètre est 20 cm et la longueur est x, alors :

   2(x + l) = 20 x + l = 10 l = 10 - x

2. Étape 2 : **b)** L'aire est :

   A(x) = x l = x(10 - x) = 10x - x^2 = -x^2 + 10x

3. Étape 3 : **c)** On résout A(x) > 21, c'est-à-dire -x^2 + 10x > 21, donc -x^2 + 10x - 21 > 0.
4. Étape 4 : On multiplie par -1 : x^2 - 10x + 21 < 0.

   = 100 - 84 = 16

5. Étape 5 : Les racines sont x_1 = 3 et x_2 = 7. Comme a = 1 > 0 :

   x^2 - 10x + 21 < 0 pour 3 < x < 7

6. Étape 6 : L'aire est supérieure à 21 cm² pour 3 < x < 7 cm.