Résoudre une inéquation avec coefficient négatif

Énoncé

Résoudre l'inéquation -2x^2 + 8x - 6 0.

Indice : Multiplie par -1 pour avoir un coefficient a positif, en n'oubliant pas de changer le sens de l'inégalité.

Correction

1. Étape 1 : Le coefficient a est négatif. Deux voies s'offrent : appliquer la règle du signe telle quelle avec a < 0, ou multiplier par -1 pour se ramener au cas familier. On choisit la seconde — mais multiplier une inéquation par -1 en retourne le sens, et c'est là que tout se joue.
2. Étape 2 : On multiplie par -1, donc on retourne le symbole :

   -2x^2 + 8x - 6 0 2x^2 - 8x + 6 0

3. Étape 3 : Les racines de 2x^2 - 8x + 6, avec a = 2, b = -8, c = 6 :

   = (-8)^2 - 4 2 6 = 64 - 48 = 16

4. Étape 4 : 16 = 4, et le dénominateur vaut 2a = 4 :

   x_1 = 8 - 4{4} = 1 x_2 = 8 + 4{4} = 3

5. Étape 5 : On applique la règle du signe. Maintenant a = 2 > 0, donc le trinôme est négatif entre les racines. On cherche 0, donc bornes comprises :

   S = [\,1\ ;\ 3\,]

6. Étape 6 : Contrôle sur l'inéquation D'ORIGINE, jamais sur la transformée. Pour x = 2 (dans S) : -8 + 16 - 6 = 2 0, vrai. Pour x = 0 (hors de S) : -6 0, faux. L'ensemble est bon. Un seul retournement, et il est au tout début : À l'étape 1, on multiplie par -1 : le sens change, devient . Ensuite, plus rien ne se retourne. Oublier ce retournement donne S = l'extérieur de [1\,;\,3], c'est-à-dire exactement le complémentaire de la bonne réponse. La voie directe, si l'on préfère : Garder -2x^2 + 8x - 6 tel quel : a = -2 < 0, donc le trinôme est POSITIF entre ses racines, qui sont les mêmes (1 et 3). On cherche 0, donc S = [1\,;\,3]. Même réponse, sans aucun retournement — c'est souvent plus sûr.