Résoudre une inéquation du second degré

Énoncé

Résoudre l'inéquation x^2 - 5x + 6 > 0.

Indice : Étudie le signe du trinôme, puis identifie les intervalles où il est strictement positif.

Correction

1. Étape 1 : Résoudre une inéquation du second degré, c'est lire un tableau de signes. Il n'y a donc rien de nouveau par rapport au 26008 : on trouve les racines, on regarde le signe de a, on conclut.
2. Étape 2 : Les racines de x^2 - 5x + 6 :

   = 25 - 24 = 1 x_1 = 2 \ et \ x_2 = 3

3. Étape 3 : Le signe de a : a = 1 > 0, donc le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles.
4. Étape 4 : On cherche où f(x) > 0, c'est-à-dire l'extérieur — et strictement, car l'inégalité l'est :

   x < 2 x > 3

5. Étape 5 : Ce qui s'écrit avec une réunion de deux intervalles :

   S = ]-\ ;\ 2[ \ \ ]3\ ;\ +[

6. Étape 6 : Contrôle par deux valeurs. f(0) = 6 > 0 et 0 est bien dans S. f(2{,}5) = -0{,}25 < 0 et 2{,}5 est bien hors de S. Le symbole d'union n'est pas un « et » : S = ]-\,;\,2[ ]3\,;\,+[ se lit « x est dans le premier intervalle OU dans le second ». Écrire 2 > x > 3 n'a aucun sens : aucun nombre n'est à la fois plus petit que 2 et plus grand que 3. Deux formes selon le sens de l'inégalité : Le trinôme positif (a > 0) donne une RÉUNION de deux intervalles, car la zone est coupée en deux par le creux de la parabole. Le trinôme négatif donne un SEUL intervalle, celui compris entre les racines.