Étudier le signe d'un trinôme

Énoncé

Étudier le signe du trinôme f(x) = x^2 - 5x + 6.

Indice : Trouve les racines, puis construis un tableau de signes. Comme a > 0, le signe est + en dehors des racines et - entre les racines.

Correction

1. Étape 1 : Le signe d'un trinôme se lit sur sa parabole, et deux informations suffisent : où elle coupe l'axe (les racines) et dans quel sens elle est tournée (le signe de a). La règle du signe : Un trinôme est du signe de a partout, sauf entre les racines où il est du signe contraire.
2. Étape 2 : Les racines sont celles du 26007 : x_1 = 2 et x_2 = 3, car il s'agit du même trinôme x^2 - 5x + 6.
3. Étape 3 : Le sens de la parabole : a = 1 > 0, donc elle est tournée vers le haut — en forme de vallée. Elle est donc au-dessus de l'axe à l'extérieur des racines, et en dessous entre elles.
4. Étape 4 : Le tableau de signes rassemble les deux informations :

   array{c|ccccccc} x & - & & 2 & & 3 & & + f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & array

5. Étape 5 : En clair :

   f(x) > 0 si x < 2 ou x > 3 f(x) < 0 si 2 < x < 3 f(x) = 0 si x = 2 ou x = 3

6. Étape 6 : Contrôle en trois points, un par intervalle. f(0) = 6 > 0, f(2{,}5) = 6{,}25 - 12{,}5 + 6 = -0{,}25 < 0, f(4) = 16 - 20 + 6 = 2 > 0. Les trois signes correspondent au tableau. C'est le signe de a qui décide, pas celui des racines : Avec a < 0, tout s'inverse : négatif à l'extérieur, positif entre les racines. Retenir « positif dehors, négatif dedans » sans regarder a donne la réponse exactement contraire une fois sur deux — voir le 26010. Le contrôle par un point est imbattable : Choisir une valeur simple dans chaque zone et calculer f. x = 0 marche presque toujours, et f(0) = c — donc le signe de c donne gratuitement celui de la zone qui contient 0.