Factoriser un trinôme

Énoncé

Factoriser le trinôme f(x) = x^2 - 5x + 6.

Indice : Trouve d'abord les racines en résolvant f(x) = 0, puis utilise la forme factorisée.

Correction

1. Étape 1 : Factoriser un trinôme, c'est le réécrire en produit. La méthode passe par les racines, car ce sont elles qui donnent les facteurs. Forme factorisée : Si > 0 et que les racines sont x_1 et x_2 : f(x) = a\,(x - x_1)(x - x_2)
2. Étape 2 : On cherche les racines de x^2 - 5x + 6, avec a = 1, b = -5, c = 6 :

   = (-5)^2 - 4 1 6 = 25 - 24 = 1

3. Étape 3 : = 1 > 0, et 1 = 1 :

   x_1 = 5 - 1{2} = 2 x_2 = 5 + 1{2} = 3

4. Étape 4 : On applique la formule, sans oublier le facteur a — qui vaut 1 ici, donc ne se voit pas :

   f(x) = 1 (x - 2)(x - 3) = (x - 2)(x - 3)

5. Étape 5 : Vérification par développement, indispensable : (x-2)(x-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6. On retrouve le trinôme de départ. Les signes s'INVERSENT dans les facteurs : La racine 2 donne le facteur (x - 2), et la racine -2 donnerait (x + 2). Recopier les racines telles quelles — (x+2)(x+3) ici — donne un trinôme complètement différent, dont le développement vaut x^2 + 5x + 6. Ne jamais oublier le facteur a : Il est invisible quand a = 1, mais pour 2x^2 - 10x + 12 les racines sont les mêmes et la factorisation est 2(x-2)(x-3). Le test du développement l'attrape immédiatement.