Résoudre une équation avec discriminant nul

Énoncé

Résoudre l'équation x^2 - 4x + 4 = 0.

Indice : Calcule . Si = 0, il y a une solution double.

Correction

1. Étape 1 : Le calcul du discriminant va décider de la formule à employer. Une valeur nulle n'est pas une anomalie : c'est le deuxième des trois cas.
2. Étape 2 : On identifie a = 1, b = -4, c = 4, puis on calcule :

   = (-4)^2 - 4 1 4 = 16 - 16 = 0

3. Étape 3 : = 0 : il y a une seule solution, dite double. La formule se simplifie car 0 = 0 :

   x_0 = -b{2a} = -(-4){2 1} = 4{2} = 2

4. Étape 4 : Vérification : 2^2 - 4 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0.

   S = \{2\}

5. Étape 5 : Ce que « solution double » veut dire. Le trinôme se factorise en (x-2)^2 : la racine 2 y apparaît deux fois. Sur le graphique, la parabole ne traverse pas l'axe des abscisses, elle le touche en un seul point — son sommet. = 0 ne veut pas dire « pas de solution » : C'est < 0 qui donne S = . = 0 donne une solution, et il faut l'écrire : S = \{2\}, jamais S = . Reconnaître une identité remarquable : x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 : on pouvait conclure sans discriminant. Devant x^2 2kx + k^2, essayer (x k)^2 — c'est plus rapide, et cela explique pourquoi = 0.