Résoudre une équation avec factorisation

Énoncé

Résoudre les équations suivantes en factorisant : a) x^2 - 5x = 0 b) 3x^2 + 6x = 0 c) x^2 - 4x = 0

Indice : Factorise par x pour obtenir x(ax + b) = 0, puis utilise la règle du produit nul.

Correction

1. Étape 1 : Ces trois équations n'ont pas de terme constant : x se met en facteur, et l'on utilise alors la règle du produit nul, bien plus rapide que le discriminant. Règle du produit nul : Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
2. Étape 2 : a) On factorise par x, présent dans les deux termes :

   x^2 - 5x = x(x - 5)

3. Étape 3 : Le produit x(x-5) est nul lorsque l'un des deux facteurs l'est :

   x = 0 x - 5 = 0 S = \{0\ ;\ 5\}

4. Étape 4 : b) Ici le facteur commun est 3x :

   3x^2 + 6x = 3x(x + 2) = 0 S = \{0\ ;\ -2\}

5. Étape 5 : c) De même :

   x^2 - 4x = x(x - 4) = 0 S = \{0\ ;\ 4\}

6. Étape 6 : 0 est solution des trois, et ce n'est pas un hasard : sans terme constant, x = 0 annule toujours l'expression. C'est un contrôle gratuit — si 0 n'apparaît pas dans les solutions, il y a une erreur. Ne JAMAIS diviser par x : De x^2 = 5x, diviser par x donne x = 5 et fait disparaître la solution x = 0. Diviser n'est permis que par un nombre non nul — or x peut valoir 0, et c'est justement une solution. On factorise, on ne divise pas. Reconnaître le cas en une seconde : Pas de terme constant (c = 0) on factorise par x. Pas de terme en x (b = 0) on isole x^2, comme au 26003. Le discriminant ne sert que quand les trois coefficients sont présents.