Calculer le discriminant

Énoncé

Calculer le discriminant de chaque trinôme : a) f(x) = x^2 - 6x + 8 b) g(x) = 2x^2 + 3x - 1 c) h(x) = -x^2 + 4x - 4

Indice : Le discriminant est donné par = b^2 - 4ac.

Correction

1. Étape 1 : Le discriminant est un nombre qu'on calcule pour savoir combien de solutions l'équation possède, avant même de les chercher. Le discriminant : = b^2 - 4ac On identifie donc a, b, c d'abord — c'est l'exercice précédent — puis on remplace.
2. Étape 2 : a) f(x) = x^2 - 6x + 8 donne a = 1, b = -6, c = 8. Le b étant négatif, on l'écrit entre parenthèses avant de l'élever au carré :

   = (-6)^2 - 4 1 8 = 36 - 32 = 4

3. Étape 3 : b) g(x) = 2x^2 + 3x - 1 donne a = 2, b = 3, c = -1. Ici -4ac devient -4 2 (-1), donc positif :

   = 3^2 - 4 2 (-1) = 9 + 8 = 17

4. Étape 4 : c) h(x) = -x^2 + 4x - 4 donne a = -1, b = 4, c = -4. Les deux signes moins de -4ac se compensent, puis se compensent encore avec le -4 :

   = 4^2 - 4 (-1) (-4) = 16 - 16 = 0

5. Étape 5 : Ce que ces trois valeurs annoncent : = 4 > 0 donnera deux solutions, = 17 > 0 aussi, et = 0 une seule. (-6)^2 vaut 36, pas -36 : Le carré d'un nombre négatif est positif. Oublier les parenthèses est l'erreur numéro un du chapitre, et elle change le signe de — donc le nombre de solutions. Écrire les parenthèses systématiquement dès que b ou c est négatif. Le signe de -4ac se prévoit : Si a et c sont de signes CONTRAIRES, -4ac est positif, donc > 0 à coup sûr : il y a forcément deux solutions. C'est le cas du b), et cela se voit avant tout calcul.