Lire une fonction affine sur sa droite

Énoncé

La droite ci-dessous représente une fonction affine f ; elle passe par les trois points marqués. a) Lire l'ordonnée à l'origine p de la droite. b) Calculer son coefficient directeur m à l'aide de deux points de la droite. c) En déduire l'expression de f(x), et la vérifier avec le troisième point marqué. d) Quel est le sens de variation de f ? e) Pour quelles valeurs de x a-t-on f(x) < 0 ?

Indice : L'ordonnée à l'origine se lit là où la droite coupe l'axe des ordonnées. Le coefficient directeur est le taux d'accroissement entre deux points : (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁).

Correction

1. Étape 1 : Une droite non verticale représente une fonction affine f(x) = mx + p. Deux lectures suffisent pour la retrouver : p se lit sur l'axe des ordonnées, m se calcule à partir de deux points de la droite dont on connaît les coordonnées. Fonction affine et droite : La droite qui représente f(x) = mx + p passe par le point (0 ; p). Pour deux points distincts (x₁ ; y₁) et (x₂ ; y₂) de cette droite, m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁).
2. Étape 2 : a) La droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; 4). Son ordonnée à l'origine est donc :

   p = f(0) = 4

3. Étape 3 : b) On prend les points (0 ; 4) et (2 ; 1), et l'on divise la variation des ordonnées par celle des abscisses :

   m = (1 - 4)/(2 - 0) = (-3)/2 = -1,5

4. Étape 4 : Ce calcul se lit aussi sur la droite : quand on avance de 2 vers la droite (de x = 0 à x = 2), on descend de 3 (de 4 à 1). Pour une avancée de 1, on descend donc de 1,5.
5. Étape 5 : c) D'où l'expression de f. On la vérifie avec le troisième point marqué, (4 ; -2) :

   f(x) = -1,5x + 4 f(4) = -6 + 4 = -2 ✓

6. Étape 6 : d) Comme m = -1,5 < 0, la fonction f est décroissante sur ℝ : la droite descend quand on la parcourt de gauche à droite.
7. Étape 7 : e) On résout l'inéquation. En divisant par -1,5, nombre négatif, on change le sens de l'inégalité :

   -1,5x + 4 < 0 ⟺ -1,5x < -4 ⟺ x > 4/(1,5) = 8/3

8. Étape 8 : Donc f(x) < 0 pour x > 8/3 ≈ 2,67 : c'est la partie de la droite située sous l'axe des abscisses. Contrôle sur les points marqués : f(2) = 1 > 0 et f(4) = -2 < 0, et 8/3 est bien compris entre 2 et 4.
9. Étape 9 : En clair : la droite représente f(x) = -1,5x + 4 ; la fonction f est décroissante, et négative pour x > 8/3. Diviser dans le bon sens : (x₂ - x₁)/(y₂ - y₁) = 2/(-3) n'est pas le coefficient directeur : on écrirait f(x) = -2/3x + 4, qui donne f(4) = 4/3 au lieu de -2. La variation des ORDONNÉES va au numérateur : de combien la droite monte ou descend quand x augmente. Lire m d'un coup d'œil : À partir d'un point de la droite, avance de 1 vers la droite : de combien monte-t-elle, ou descend-elle ? Ce nombre est m si elle monte, -m si elle descend : ici, on descend de 1,5, donc m = -1,5. Choisir des points aux coordonnées entières rend la lecture sûre.