Offre, demande et point d'équilibre

Énoncé

Sur un marché, pour un prix de x euros, avec 12 ≤ x ≤ 60, les acheteurs demandent D(x) = 180 - 3x objets, et les producteurs en proposent O(x) = 5x - 60. a) Donner le sens de variation de D et de O, et l'interpréter. b) Déterminer le prix d'équilibre, pour lequel l'offre est égale à la demande, ainsi que la quantité échangée à ce prix. c) Au prix de 40 €, l'offre est-elle supérieure ou inférieure à la demande ? De combien ?

Indice : Le sens de variation d'une fonction affine se lit sur le signe de son coefficient directeur. Pour b), résous O(x) = D(x).

Correction

1. Étape 1 : L'offre et la demande sont deux fonctions affines du prix : leurs coefficients directeurs disent comment chacune réagit au prix, et le point d'équilibre est le point d'intersection de leurs droites — on le trouve en égalant les deux expressions. Sens de variation d'une fonction affine : f(x) = mx + p est croissante si m > 0, décroissante si m < 0.
2. Étape 2 : a) Pour D(x) = 180 - 3x, le coefficient directeur est -3 < 0 : D est décroissante. Plus le prix est élevé, moins les acheteurs demandent d'objets.
3. Étape 3 : Pour O(x) = 5x - 60, le coefficient directeur est 5 > 0 : O est croissante. Plus le prix est élevé, plus les producteurs ont intérêt à produire.
4. Étape 4 : b) À l'équilibre, l'offre égale la demande. On regroupe les x d'un côté, les nombres de l'autre :

   5x - 60 = 180 - 3x ⟺ 8x = 240 ⟺ x = 30

5. Étape 5 : La quantité échangée se calcule avec l'une ou l'autre fonction — et le fait d'obtenir la même valeur contrôle le prix trouvé :

   D(30) = 180 - 90 = 90 O(30) = 150 - 60 = 90

6. Étape 6 : c) Au prix de 40 € :

   D(40) = 180 - 120 = 60 O(40) = 200 - 60 = 140

7. Étape 7 : L'offre dépasse la demande de 140 - 60 = 80 objets : il y a un excédent. Les producteurs ont du mal à vendre, ce qui pousse le prix à la baisse, vers l'équilibre.
8. Étape 8 : En clair : au prix d'équilibre de 30 €, 90 objets sont échangés ; au-dessus de ce prix, l'offre dépasse la demande. L'équilibre n'est pas là où une quantité s'annule : Résoudre D(x) = 0 donne x = 60, le prix auquel plus personne n'achète : ce n'est pas l'équilibre. L'équilibre est le prix où les DEUX quantités sont égales, donc l'intersection des deux droites. Un contrôle gratuit : Après avoir trouvé le prix d'équilibre, calcule les deux quantités : elles doivent être égales. Si D(30) et O(30) différaient, l'erreur serait dans la résolution de l'équation.