Fonction affine : images, coefficient directeur, variations

Énoncé

On considère la fonction affine f définie sur ℝ par f(x) = -2x + 3. a) Calculer f(0), f(1) et f(4). b) Donner le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de sa droite représentative. c) Calculer le taux d'accroissement de f entre 1 et 4. Que remarque-t-on ? d) Quel est le sens de variation de f ?

Indice : Dans f(x) = mx + p, m est le coefficient directeur et p l'ordonnée à l'origine.

Correction

1. Étape 1 : Une fonction affine se lit sur son écriture f(x) = mx + p : le nombre devant x et le nombre ajouté. Le taux d'accroissement sert à vérifier que m mesure bien la variation de f. Fonction affine : Pour f(x) = mx + p : la droite représentative a pour coefficient directeur m et passe par (0 ; p) ; f est croissante si m > 0, décroissante si m < 0.
2. Étape 2 : a) On remplace x par chaque valeur :

   f(0) = 3 f(1) = -2 + 3 = 1 f(4) = -8 + 3 = -5

3. Étape 3 : b) Dans f(x) = -2x + 3, le nombre devant x est -2 et le nombre ajouté est 3 :

   m = -2 p = 3

4. Étape 4 : c) On divise la variation des images par la variation des abscisses :

   (f(4) - f(1))/(4 - 1) = (-5 - 1)/3 = (-6)/3 = -2

5. Étape 5 : On retrouve exactement le coefficient directeur m = -2 : pour une fonction affine, le taux d'accroissement est le même entre deux points quelconques.
6. Étape 6 : d) Comme m = -2 < 0, la fonction f est décroissante sur ℝ : quand x augmente de 1, f(x) diminue de 2.
7. Étape 7 : Contrôle sur les valeurs du a) : f(0) = 3, f(1) = 1, f(4) = -5 diminuent bien quand x augmente. C'est m qui décide, pas p : L'ordonnée à l'origine p = 3 est positive, mais la fonction est décroissante. Le sens de variation se lit sur le coefficient de x, jamais sur le nombre ajouté. Le parallèle avec les suites : La suite u(n) = 3 - 2n est arithmétique de raison -2 : ses termes sont f(0), f(1), f(2)… et elle décroît pour la même raison. Raison d'une suite arithmétique et coefficient directeur jouent le même rôle.