Un motif en croix qui grandit

Énoncé

On construit une suite de motifs avec des carreaux. Le motif 0 est une petite croix de 5 carreaux : un carreau central et un carreau sur chacune des quatre branches. Pour passer d'un motif au suivant, on ajoute un carreau au bout de chacune des quatre branches. On note u(n) le nombre de carreaux du motif n. a) Calculer u(1), u(2) et u(3). b) Exprimer u(n + 1) en fonction de u(n). Quelle est la nature de la suite u ? En déduire u(n) en fonction de n. c) On dispose de 150 carreaux. Quel est le plus grand motif que l'on peut construire ? d) Existe-t-il un motif comportant exactement 100 carreaux ?

Indice : À chaque étape, on ajoute 4 carreaux. Pour c), résous u(n) ≤ 150 et garde le plus grand entier.

Correction

1. Étape 1 : Un motif qui grandit en ajoutant toujours le même nombre de carreaux donne une suite arithmétique : on trouve la raison en regardant ce qu'on ajoute, puis la formule explicite répond aux questions de seuil et d'existence. Suite arithmétique : Si u(n + 1) = u(n) + r, alors u(n) = u(0) + nr.
2. Étape 2 : a) On part de u(0) = 5 et l'on ajoute 4 carreaux à chaque étape, un par branche :

   u(1) = 9 u(2) = 13 u(3) = 17

3. Étape 3 : b) On passe d'un motif au suivant en ajoutant 4 carreaux, donc u(n + 1) = u(n) + 4 : la suite est arithmétique de raison 4 et de premier terme u(0) = 5.

   u(n) = 5 + 4n

4. Étape 4 : La formule se lit aussi sur le motif : un carreau central, plus n + 1 carreaux sur chacune des 4 branches, soit 1 + 4(n + 1) = 5 + 4n. c) On cherche les motifs qui utilisent au plus 150 carreaux :

   5 + 4n ≤ 150 ⟺ 4n ≤ 145 ⟺ n ≤ 36,25

5. Étape 5 : Le plus grand entier qui convient est n = 36. Vérification :

   u(36) = 5 + 144 = 149 ≤ 150 u(37) = 5 + 148 = 153 > 150

6. Étape 6 : Le plus grand motif réalisable est donc le motif 36, qui utilise 149 carreaux (il en reste un). d) On cherche n tel que u(n) = 100 :

   5 + 4n = 100 ⟺ 4n = 95 ⟺ n = 23,75

7. Étape 7 : Or n doit être un entier, puisqu'il numérote les motifs : aucun motif ne compte exactement 100 carreaux. On passe de u(23) = 97 à u(24) = 101.
8. Étape 8 : Une explication sans calcul : u(n) = 5 + 4n = 4(n + 1) + 1 est toujours un multiple de 4 augmenté de 1, donc un nombre impair. Comme 100 est pair, il ne peut pas être atteint. Un rang est un entier : Trouver n = 23,75 ne veut pas dire « le motif 23,75 » : cela signifie qu'aucun rang ne convient. Une équation dont la solution n'est pas entière n'a pas de solution parmi les rangs. Plus grand ou plus petit entier ? : Avec « au plus 150 » (≤), on garde le PLUS GRAND entier qui convient : 36. Avec « dépasser » (>), on chercherait le PLUS PETIT : relis toujours le sens de la question.