Celsius et Fahrenheit : une fonction affine

Énoncé

La conversion des degrés Celsius en degrés Fahrenheit est modélisée par une fonction affine f : une température de C degrés Celsius correspond à f(C) degrés Fahrenheit. Un thermomètre indique 50 °F quand il fait 10 °C, et la température normale du corps humain, 37 °C, correspond à 98,6 °F. a) Calculer le taux d'accroissement de f entre 10 et 37. Que représente-t-il pour la droite représentative de f ? b) En déduire l'expression de f(C). c) Convertir 25 °C en degrés Fahrenheit. d) Pour quelle température les deux échelles indiquent-elles le même nombre ?

Indice : Le taux d'accroissement d'une fonction affine est son coefficient directeur. Pour d), résous l'équation f(C) = C.

Correction

1. Étape 1 : Une fonction affine est entièrement déterminée par deux points : leur taux d'accroissement donne le coefficient directeur, puis l'un des deux points donne l'ordonnée à l'origine. Taux d'accroissement d'une fonction affine : Pour f(x) = mx + p et deux réels distincts x₁, x₂ : (f(x₂) - f(x₁))/(x₂ - x₁) = m, le coefficient directeur.
2. Étape 2 : a) On divise la variation des températures en °F par la variation des températures en °C :

   (f(37) - f(10))/(37 - 10) = (98,6 - 50)/27 = (48,6)/27 = 1,8

3. Étape 3 : La dernière division se vérifie sans calculatrice : 27 × 1,8 = 27 + 21,6 = 48,6. Ce taux est le coefficient directeur de la droite : chaque degré Celsius supplémentaire ajoute 1,8 degré Fahrenheit.
4. Étape 4 : b) On a donc f(C) = 1,8 C + p. Pour trouver p, on utilise le point (10 ; 50) :

   f(10) = 1,8 × 10 + p = 18 + p = 50 ⟺ p = 32

5. Étape 5 : D'où l'expression de f, que l'on contrôle avec le second point : f(37) = 66,6 + 32 = 98,6.

   f(C) = 1,8 C + 32

6. Étape 6 : c) Pour 25 °C :

   f(25) = 1,8 × 25 + 32 = 45 + 32 = 77 °F

7. Étape 7 : d) On cherche C tel que f(C) = C :

   1,8 C + 32 = C ⟺ 0,8 C = -32 ⟺ C = -40

8. Étape 8 : Vérification : f(-40) = -72 + 32 = -40. Les deux échelles indiquent le même nombre à -40 degrés.
9. Étape 9 : En clair : f(C) = 1,8 C + 32 ; une journée d'été à 25 °C affiche 77 °F, et -40 °C égale -40 °F. On retrouve au passage f(0) = 32 : l'eau gèle à 32 °F. Un taux d'accroissement se calcule sur des DIFFÉRENCES : Diviser 50 par 10 donne 5, qui n'est pas le coefficient directeur : c'est supposer f(C) = 5C, comme si les deux échelles partaient de 0 ensemble. On trouverait alors f(37) = 185 °F pour le corps humain, au lieu de 98,6. Le coefficient directeur dit le sens de variation : m = 1,8 > 0 : la fonction est croissante, comme on l'attend — une température plus élevée en °C l'est aussi en °F. C'est le même rôle que la raison d'une suite arithmétique.