Problème de seuil : un réservoir qui se vide

Énoncé

Un réservoir contient 2 000 litres d'eau. Chaque jour, on en prélève 75 litres. On note v(n) le volume d'eau (en litres) au bout de n jours ; ainsi v(0) = 2 000. a) Quelle est la nature de la suite v ? Exprimer v(n) en fonction de n. b) Au bout de combien de jours le volume devient-il strictement inférieur à 500 litres ? c) Le réservoir permettra-t-il de prélever 75 litres indéfiniment ? Jusqu'à quel jour le modèle a-t-il un sens ?

Indice : On retire toujours la même quantité : la suite est arithmétique. Pour b), résous l'inéquation v(n) < 500 — attention au sens quand on divise par un nombre négatif.

Correction

1. Étape 1 : Le réservoir perd la même quantité chaque jour : c'est une décroissance linéaire, donc une suite arithmétique de raison négative. Un problème de seuil se résout alors par une inéquation en n, dont on garde le plus petit entier qui convient. Suite arithmétique : Si v(n + 1) = v(n) + r, alors v(n) = v(0) + nr ; la suite est décroissante si r < 0.
2. Étape 2 : a) Chaque jour, on retire 75 litres : v(n + 1) = v(n) - 75. La suite est arithmétique de raison r = -75 et de premier terme v(0) = 2 000, donc :

   v(n) = 2 000 - 75n

3. Étape 3 : b) On traduit la condition, puis on isole n. En divisant par -75, nombre négatif, on change le sens de l'inégalité :

   2 000 - 75n < 500 ⟺ -75n < -1 500 ⟺ n > 20

4. Étape 4 : Le plus petit entier strictement supérieur à 20 est n = 21. Vérification :

   v(20) = 2 000 - 1 500 = 500 v(21) = 2 000 - 1 575 = 425

5. Étape 5 : v(20) = 500 n'est pas STRICTEMENT inférieur à 500, alors que v(21) = 425 l'est. Comme la suite est décroissante, le volume reste ensuite sous 500 L : c'est au bout de 21 jours que le seuil est franchi.
6. Étape 6 : c) On cherche jusqu'où le volume reste positif. Comme 75 × 26 = 1 950 et 75 × 27 = 2 025 :

   v(26) = 2 000 - 1 950 = 50 v(27) = 2 000 - 2 025 = -25

7. Étape 7 : Un volume négatif n'a pas de sens : au bout de 26 jours, il ne reste que 50 litres, et le prélèvement suivant de 75 litres est impossible. Le modèle n'est donc valable que pour 0 ≤ n ≤ 26.
8. Étape 8 : En clair : le réservoir passe sous 500 L au bout de 21 jours, et il ne permet que 26 prélèvements complets. Diviser par un nombre négatif change le sens : De -75n < -1 500, diviser par -75 donne n > 20, et non n < 20. Sans ce retournement, on conclurait que le seuil est franchi AVANT le 20ᵉ jour — alors que v(0) = 2 000 est bien au-dessus de 500. Un modèle a un domaine de validité : La formule v(n) = 2 000 - 75n donne des volumes négatifs pour n ≥ 27 : le calcul continue, la réalité non. Interpréter un résultat, c'est aussi dire jusqu'où le modèle reste vrai.