Comparaison de suites

Énoncé

On considère deux placements : - Placement A : 1000 € placés à un taux d'intérêt simple de 5% par an (les intérêts ne sont pas capitalisés) - Placement B : 1000 € placés à un taux d'intérêt composé de 4% par an (les intérêts sont capitalisés) On note A_n et B_n les capitaux après n années pour chaque placement. a) Montrer que (A_n) est une suite arithmétique et (B_n) est une suite géométrique. b) Calculer A_{10} et B_{10}. c) Quel placement est le plus avantageux sur 10 ans ?

Indice : Identifie les types de suites, puis compare les valeurs après 10 ans.

Correction

1. Étape 1 : Deux placements de natures différentes : l'un ajoute toujours la même somme (arithmétique), l'autre multiplie (géométrique). Toute la question est de savoir lequel l'emporte, et à partir de quand. Intérêts simples ou composés : Simples : les intérêts se calculent toujours sur le capital de départ ⟹ suite arithmétique Composés : les intérêts s'ajoutent au capital et rapportent à leur tour ⟹ suite géométrique
2. Étape 2 : a) Placement A. Les intérêts valent chaque année 5\,\% de 1000 €, soit 50 € — toujours le même montant, car ils portent sur le capital INITIAL :

   A_{n+1} = A_n + 50 A_n = 1000 + 50n

3. Étape 3 : Placement B. Le capital entier est multiplié par 1{,}04 chaque année :

   B_{n+1} = 1{,}04 B_n B_n = 1000 1{,}04^{\,n}

4. Étape 4 : b) Après 10 ans :

   A_{10} = 1000 + 500 = 1\,500 €

5. Étape 5 : Et pour B, avec 1{,}04^{10} 1{,}480 :

   B_{10} = 1000 1{,}480 1\,480 €

6. Étape 6 : c) Sur 10 ans, A rapporte 20 € de plus : le placement A est le plus avantageux, malgré son taux identique en apparence — c'est que 5\,\% simples battent encore 4\,\% composés à cette échéance.
7. Étape 7 : Mais le classement s'inverse, et l'on peut dire quand. B croît de plus en plus vite, A toujours au même rythme. En comparant année par année :

   n = 11 : A = 1550 > B 1539{,}5 n = 12 : A = 1600 < B 1601{,}0

8. Étape 8 : Le croisement a donc lieu à la 12ᵉ année, et de justesse — un euro d'écart. Ensuite l'avantage de B ne cesse de grandir : à 15 ans, 1\,800 € contre 1\,750 €. Comparer deux placements à une seule date ne suffit pas : « A est meilleur » n'est vrai QUE sur 10 ans. Sur 20 ans, B donne 2\,191 € contre 2\,000 €. Un taux plus faible mais composé finit toujours par dépasser un taux plus fort mais simple — la seule question est de savoir quand, et c'est cela qu'il faut calculer. Pourquoi le géométrique finit toujours par gagner : A ajoute 50 € chaque année, indéfiniment. B ajoute 4\,\% d'un capital qui grossit : 40 € la première année, mais 80 € quand le capital a doublé. Une croissance proportionnelle finit par dépasser n'importe quelle croissance constante.