Comparaison de suites

Énoncé

On considère deux placements : - Placement A : 1000 € placés à un taux d'intérêt simple de 5% par an (les intérêts ne sont pas capitalisés) - Placement B : 1000 € placés à un taux d'intérêt composé de 4% par an (les intérêts sont capitalisés) On note A_n et B_n les capitaux après n années pour chaque placement. a) Montrer que (A_n) est une suite arithmétique et (B_n) est une suite géométrique. b) Calculer A_{10} et B_{10}. c) Quel placement est le plus avantageux sur 10 ans ?

Indice : Identifie les types de suites, puis compare les valeurs après 10 ans.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Pour le placement A, chaque année on ajoute 0{,}05 1000 = 50 €. Donc A_{n+1} = A_n + 50. C'est une suite arithmétique de raison r = 50 et A_0 = 1000.

   A_n = 1000 + 50n

2. Étape 2 : Pour le placement B, chaque année on multiplie par 1{,}04. Donc B_{n+1} = 1{,}04 B_n. C'est une suite géométrique de raison q = 1{,}04 et B_0 = 1000.

   B_n = 1000 1{,}04^n

3. Étape 3 : **b)** Calculons A_{10} :

   A_{10} = 1000 + 50 10 = 1000 + 500 = 1500 €

4. Étape 4 : Calculons B_{10} :

   B_{10} = 1000 1{,}04^{10} 1000 1{,}480 = 1480 €

5. Étape 5 : **c)** Après 10 ans, le placement A donne 1500 € et le placement B donne environ 1480 €. Le placement A est donc légèrement plus avantageux sur 10 ans.

   Placement A est plus avantageux

6. Étape 6 : Remarque : Sur des durées plus longues, le placement B (intérêts composés) devient plus avantageux grâce à l'effet de la capitalisation des intérêts.