Déterminer une suite à partir de conditions

Énoncé

Déterminer une suite arithmétique (u_n) telle que : - u_2 + u_4 = 20 - u_3 + u_5 = 28 Donner la formule explicite de u_n.

Indice : Écris u_2, u_3, u_4 et u_5 en fonction de u_0 et r, puis résous le système d'équations.

Correction

1. Étape 1 : Pour une suite arithmétique : u_n = u_0 + n r. Exprimons les termes demandés.

   u_2 = u_0 + 2r, u_3 = u_0 + 3r, u_4 = u_0 + 4r, u_5 = u_0 + 5r

2. Étape 2 : La première condition donne :

   u_2 + u_4 = (u_0 + 2r) + (u_0 + 4r) = 2u_0 + 6r = 20

3. Étape 3 : La deuxième condition donne :

   u_3 + u_5 = (u_0 + 3r) + (u_0 + 5r) = 2u_0 + 8r = 28

4. Étape 4 : On a le système : cases 2u_0 + 6r = 20 2u_0 + 8r = 28 cases. En soustrayant la première à la deuxième :

   (2u_0 + 8r) - (2u_0 + 6r) = 28 - 20 2r = 8 r = 4

5. Étape 5 : On remplace r = 4 dans la première équation :

   2u_0 + 6 4 = 20 2u_0 = 20 - 24 = -4 u_0 = -2

6. Étape 6 : La formule explicite est donc :

   u_n = -2 + 4n