Déterminer une suite à partir de conditions

Énoncé

Déterminer une suite arithmétique (u_n) telle que : - u_2 + u_4 = 20 - u_3 + u_5 = 28 Donner la formule explicite de u_n.

Indice : Écris u_2, u_3, u_4 et u_5 en fonction de u_0 et r, puis résous le système d'équations.

Correction

1. Étape 1 : Deux inconnues — u_0 et r — et deux conditions : c'est un système. La méthode consiste à tout exprimer en fonction de ces deux inconnues, puis à résoudre.
2. Étape 2 : On exprime les quatre termes avec la formule explicite :

   u_2 = u_0 + 2r u_3 = u_0 + 3r u_4 = u_0 + 4r u_5 = u_0 + 5r

3. Étape 3 : La première condition devient :

   (u_0 + 2r) + (u_0 + 4r) = 2u_0 + 6r = 20

4. Étape 4 : La seconde :

   (u_0 + 3r) + (u_0 + 5r) = 2u_0 + 8r = 28

5. Étape 5 : On soustrait la première à la seconde. Les 2u_0 disparaissent, ce qui isole r :

   (2u_0 + 8r) - (2u_0 + 6r) = 28 - 20 2r = 8 r = 4

6. Étape 6 : On remonte à u_0 dans la première équation :

   2u_0 + 24 = 20 2u_0 = -4 u_0 = -2

7. Étape 7 : La formule explicite :

   u_n = -2 + 4n

8. Étape 8 : Vérification sur les DEUX conditions, pas une seule : u_2 + u_4 = 6 + 14 = 20 ✓ et u_3 + u_5 = 10 + 18 = 28 ✓. Un u_0 négatif n'est pas une erreur : Rien n'oblige une suite à commencer par un nombre positif : ici -2, 2, 6, 10, 14… Refaire le calcul « parce que le résultat est négatif » fait perdre du temps — c'est la vérification, et elle seule, qui tranche. Soustraire pour éliminer : Quand deux équations ont le même coefficient devant une inconnue, les soustraire la fait disparaître. C'est ce qui rend ce système immédiat : les deux portent 2u_0, donc une soustraction donne r directement.