Suite définie par récurrence d'ordre 2

Énoncé

Soit la suite (u_n) définie par : - u_0 = 1, u_1 = 1 - u_{n+2} = u_{n+1} + u_n pour tout n 0 a) Calculer u_2, u_3, u_4 et u_5. b) Cette suite est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier.

Indice : Calcule les premiers termes et vérifie si les différences ou les quotients sont constants.

Correction

1. Étape 1 : Une nouveauté : chaque terme dépend des deux précédents. Il faut donc deux valeurs de départ, et l'on avance de proche en proche sans qu'aucune formule explicite ne soit disponible. La question b) demande de VÉRIFIER une hypothèse, donc de la tester — pas de la deviner.
2. Étape 2 : a) Chaque terme est la somme des deux qui le précèdent :

   u_2 = 1 + 1 = 2 u_3 = 2 + 1 = 3 u_4 = 3 + 2 = 5 u_5 = 5 + 3 = 8

3. Étape 3 : b) Arithmétique ? On calcule les différences successives :

   u_1 - u_0 = 0 u_2 - u_1 = 1 u_4 - u_3 = 2

4. Étape 4 : Les différences 0, 1, 2 ne sont pas constantes. Deux valeurs différentes suffisent à conclure : ce n'est pas une suite arithmétique.
5. Étape 5 : Géométrique ? On calcule les quotients :

   u_1{u_0} = 1 u_2{u_1} = 2 u_3{u_2} = 1{,}5

6. Étape 6 : Là non plus les quotients ne sont pas constants : ce n'est pas une suite géométrique.

   1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ (suite de Fibonacci)

7. Étape 7 : Elle croît pourtant, et de plus en plus vite — les quotients 1 ; 2 ; 1{,}5 ; 1{,}67 ; 1{,}6 se resserrent autour de 1{,}618, le nombre d'or. La suite finit donc par ressembler à une géométrique, sans jamais en être une. Pour RÉFUTER, deux cas suffisent ; pour AFFIRMER, il en faut une infinité : Montrer que u_2 - u_1 u_4 - u_3 prouve définitivement qu'elle n'est pas arithmétique. En revanche, constater que trois différences se valent ne prouverait RIEN : il faudrait le démontrer pour tout n, à partir de la définition. Un contre-exemple bien choisi va plus vite : Inutile de calculer toutes les différences : il suffit d'en exhiber DEUX qui diffèrent. Ici u_1 - u_0 = 0 et u_2 - u_1 = 1 tranchent dès les premiers termes.