Suite définie par récurrence d'ordre 2

Énoncé

Soit la suite (u_n) définie par : - u_0 = 1, u_1 = 1 - u_{n+2} = u_{n+1} + u_n pour tout n 0 a) Calculer u_2, u_3, u_4 et u_5. b) Cette suite est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier.

Indice : Calcule les premiers termes et vérifie si les différences ou les quotients sont constants.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Calculons les termes en utilisant la relation de récurrence.

   u_2 = u_1 + u_0 = 1 + 1 = 2

2. Étape 2 : On continue avec u_3.

   u_3 = u_2 + u_1 = 2 + 1 = 3

3. Étape 3 : On calcule u_4.

   u_4 = u_3 + u_2 = 3 + 2 = 5

4. Étape 4 : Et u_5.

   u_5 = u_4 + u_3 = 5 + 3 = 8

5. Étape 5 : **b)** Vérifions si c'est une suite arithmétique. Calculons les différences : u_1 - u_0 = 0, u_2 - u_1 = 1, u_3 - u_2 = 1, u_4 - u_3 = 2. Les différences ne sont pas constantes, donc ce n'est pas une suite arithmétique.
6. Étape 6 : Vérifions si c'est une suite géométrique. Calculons les quotients : u_1{u_0} = 1, u_2{u_1} = 2, u_3{u_2} = 1{,}5. Les quotients ne sont pas constants, donc ce n'est pas une suite géométrique.

   C'est la suite de Fibonacci, ni arithmétique ni géométrique