Problème avec suite géométrique

Énoncé

Un capital de 5000 € est placé à un taux d'intérêt de 4% par an. Les intérêts sont capitalisés chaque année. On note C_n le capital après n années. a) Montrer que (C_n) est une suite géométrique et donner sa raison. b) Quel sera le capital après 12 ans ? c) Au bout de combien d'années le capital aura-t-il doublé ?

Indice : Identifie la suite géométrique. Pour la question c), résous l'inéquation C_n 2C_0.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Chaque année, le capital est multiplié par 1 + 0{,}04 = 1{,}04, donc C_{n+1} = 1{,}04 C_n. C'est une suite géométrique de raison q = 1{,}04 et de premier terme C_0 = 5000.

   C_n = 5000 1{,}04^n

2. Étape 2 : **b)** Après 12 ans, le capital est :

   C_{12} = 5000 1{,}04^{12} 5000 1{,}601 8005 €

3. Étape 3 : **c)** On cherche n tel que C_n 2C_0 = 10000.

   5000 1{,}04^n 10000

4. Étape 4 : On divise par 5000 :

   1{,}04^n 2

5. Étape 5 : En testant différentes valeurs : 1{,}04^{17} 1{,}948 et 1{,}04^{18} 2{,}026. Donc après 18 ans, le capital aura doublé.

   n = 18 années