Problème avec suite géométrique

Énoncé

Un capital de 5000 € est placé à un taux d'intérêt de 4% par an. Les intérêts sont capitalisés chaque année. On note C_n le capital après n années. a) Montrer que (C_n) est une suite géométrique et donner sa raison. b) Quel sera le capital après 12 ans ? c) Au bout de combien d'années le capital aura-t-il doublé ?

Indice : Identifie la suite géométrique. Pour la question c), résous l'inéquation C_n 2C_0.

Correction

  1. Étape 1 : Les intérêts « capitalisés » signifient qu'ils rapportent à leur tour l'année suivante : le capital est donc MULTIPLIÉ chaque année, ce qui fait une suite géométrique. La question c) demandera de résoudre 1{,}04^n 2, sans outil pour le faire directement — on procédera par essais encadrants.
  2. Étape 2 : a) Ajouter 4\,\% revient à multiplier par 1 + 0{,}04 :

    C_{n+1} = 1{,}04 C_n géométrique, q = 1{,}04,\ C_0 = 5000

  3. Étape 3 : D'où la formule explicite :

    C_n = 5000 1{,}04^{\,n}

  4. Étape 4 : b) Après 12 ans, avec 1{,}04^{12} 1{,}601 :

    C_{12} = 5000 1{,}601 8\,005 €

  5. Étape 5 : c) « Doubler » signifie atteindre 10\,000 €. On simplifie en divisant par le capital initial, ce qui fait disparaître les 5000 :

    5000 1{,}04^{\,n} 10\,000 1{,}04^{\,n} 2

  6. Étape 6 : On encadre par essais. La suite 1{,}04^n étant croissante, il suffit de trouver le premier n qui dépasse 2 :

    1{,}04^{17} 1{,}948 < 2 1{,}04^{18} 2{,}026 2

  7. Étape 7 : Le capital dépasse donc 10\,000 € pour la première fois après 18 ans :

    C_{17} 9\,740 € C_{18} 10\,129 €

  8. Étape 8 : Contrôle d'ordre de grandeur. Une règle bien connue des banquiers : à t\,\%, un capital double en environ 70{t} années. Ici 70{4} = 17{,}5, ce qui encadre parfaitement les 18 ans trouvés. Un taux de 4 % ne donne pas une raison de 0,04 : La raison est 1{,}04, car le capital est CONSERVÉ et augmenté — pas remplacé par ses seuls intérêts. Avec q = 0{,}04, le capital serait divisé par 25 chaque année. Le contrôle sur C_1 suffit à le voir : 5000 1{,}04 = 5200 €, ce qui est bien le capital plus 200 € d'intérêts. Encadrer, pas tâtonner au hasard : Commencer par un essai grossier (n = 10 : 1{,}48, trop petit ; n = 20 : 2{,}19, trop grand), puis couper en deux à chaque fois. Quatre ou cinq essais suffisent toujours, et l'on ne cherche jamais à l'aveugle.