Problème avec suite arithmétique

Énoncé

Un salarié gagne 2000 € par mois la première année. Son salaire augmente de 150 € chaque année. On note S_n le salaire mensuel la n-ième année (n = 0 pour la première année). a) Montrer que (S_n) est une suite arithmétique et donner sa raison. b) Quel sera son salaire mensuel la 8ème année ? c) Calculer le total des salaires perçus sur les 10 premières années (en supposant 12 mois par an).

Indice : Identifie la suite arithmétique, puis utilise les formules pour calculer un terme et une somme.

Correction

  1. Étape 1 : Un problème en trois questions, et la difficulté n'est pas le calcul mais la traduction : il faut relier « la 8ᵉ année » à un indice, et « le total des salaires » à une somme — sans oublier les 12 mois.
  2. Étape 2 : a) Le salaire augmente de 150 € chaque année, donc on ajoute toujours le même nombre :

    S_{n+1} = S_n + 150 arithmétique, r = 150,\ S_0 = 2000

  3. Étape 3 : D'où la formule explicite :

    S_n = 2000 + 150n

  4. Étape 4 : b) ⚠️ La 8ᵉ année correspond à n = 7, car l'énoncé pose n = 0 pour la PREMIÈRE année. Le rang est toujours en retard d'une unité sur le rang de l'année :

    S_7 = 2000 + 150 7 = 3\,050 €

  5. Étape 5 : c) Les 10 premières années vont de n = 0 à n = 9. On somme d'abord les salaires MENSUELS, puis on multiplie par 12. Il faut le dernier terme :

    S_9 = 2000 + 150 9 = 3\,350

  6. Étape 6 : La somme des dix salaires mensuels, par la formule de Gauss :

    S_0 + + S_9 = 10 2000 + 3350{2} = 10 2\,675 = 26\,750

  7. Étape 7 : Le total annuel, en multipliant par les 12 mois :

    Total = 12 26\,750 = 321\,000 €

  8. Étape 8 : Contrôle par l'ordre de grandeur. Le salaire moyen sur la période est 2\,675 € par mois, soit environ 32\,100 € par an ; sur dix ans, cela fait bien 321\,000 €. Le compte est cohérent. Le décalage d'indice est l'erreur numéro un des problèmes de suites : « La 8ᵉ année » avec n = 0 pour la première donne n = 7, pas n = 8. Relire la phrase qui définit l'indice AVANT de calculer — elle est toujours dans l'énoncé, et c'est elle qui décide. Ne pas oublier de revenir aux unités demandées : La question porte sur le total des SALAIRES PERÇUS, donc annuels. S'arrêter à 26\,750 € répondrait à une autre question — celle de la somme des salaires mensuels, qui ne veut rien dire concrètement.