Problème avec suite arithmétique

Énoncé

Un salarié gagne 2000 € par mois la première année. Son salaire augmente de 150 € chaque année. On note S_n le salaire mensuel la n-ième année (n = 0 pour la première année). a) Montrer que (S_n) est une suite arithmétique et donner sa raison. b) Quel sera son salaire mensuel la 8ème année ? c) Calculer le total des salaires perçus sur les 10 premières années (en supposant 12 mois par an).

Indice : Identifie la suite arithmétique, puis utilise les formules pour calculer un terme et une somme.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Le salaire augmente de 150 € chaque année, donc S_{n+1} = S_n + 150. C'est une suite arithmétique de raison r = 150 et de premier terme S_0 = 2000.

   S_n = 2000 + 150n

2. Étape 2 : **b)** La 8ème année correspond à n = 7 (car n = 0 est la première année).

   S_7 = 2000 + 150 7 = 2000 + 1050 = 3050 €

3. Étape 3 : **c)** Le salaire annuel la n-ième année est 12 S_n. Le total sur 10 ans (de n = 0 à n = 9) est :

   Total = 12 (S_0 + S_1 + + S_9)

4. Étape 4 : On calcule d'abord la somme des salaires mensuels : S_0 + S_1 + + S_9 = 10 S_0 + S_9{2}.

   S_9 = 2000 + 150 9 = 2000 + 1350 = 3350

5. Étape 5 : On calcule la somme.

   S_0 + + S_9 = 10 2000 + 3350{2} = 10 2675 = 26750

6. Étape 6 : Le total annuel est donc :

   Total = 12 26750 = 321000 €