Étudier le sens de variation

Énoncé

Soit la suite (u_n) définie par u_n = 7 - 2n pour n 0. Étudier le sens de variation de cette suite en calculant u_{n+1} - u_n.

Indice : Calcule u_{n+1} - u_n et détermine son signe. Si c'est positif, la suite est croissante ; si c'est négatif, elle est décroissante.

Correction

1. Étape 1 : Calculons d'abord u_{n+1} en remplaçant n par n+1 dans la formule.

   u_{n+1} = 7 - 2(n+1) = 7 - 2n - 2 = 5 - 2n

2. Étape 2 : Calculons maintenant la différence u_{n+1} - u_n.

   u_{n+1} - u_n = (5 - 2n) - (7 - 2n) = 5 - 2n - 7 + 2n = -2

3. Étape 3 : La différence est constante et égale à -2, qui est négatif. Donc pour tout n, u_{n+1} - u_n < 0, ce qui signifie u_{n+1} < u_n.

   La suite est décroissante

4. Étape 4 : On peut aussi remarquer que c'est une suite arithmétique de raison r = -2 < 0, donc elle est décroissante.