Étudier le sens de variation

Énoncé

Soit la suite (u_n) définie par u_n = 7 - 2n pour n 0. Étudier le sens de variation de cette suite en calculant u_{n+1} - u_n.

Indice : Calcule u_{n+1} - u_n et détermine son signe. Si c'est positif, la suite est croissante ; si c'est négatif, elle est décroissante.

Correction

1. Étape 1 : Pour savoir si une suite monte ou descend, on compare deux termes consécutifs — donc on calcule u_{n+1} - u_n et l'on regarde son signe. Le geste délicat est le premier : obtenir u_{n+1} en remplaçant n par n+1 partout, parenthèses comprises.
2. Étape 2 : On calcule u_{n+1}, en mettant n+1 entre parenthèses puis en développant :

   u_{n+1} = 7 - 2(n+1) = 7 - 2n - 2 = 5 - 2n

3. Étape 3 : On soustrait, en pensant à distribuer le signe moins sur toute la parenthèse :

   u_{n+1} - u_n = (5 - 2n) - (7 - 2n) = 5 - 2n - 7 + 2n = -2

4. Étape 4 : La différence vaut -2, quel que soit n. Elle est donc toujours négative :

   u_{n+1} - u_n = -2 < 0 u_{n+1} < u_n

5. Étape 5 : Chaque terme est plus petit que le précédent : la suite est décroissante.
6. Étape 6 : Contrôle numérique sur les premiers termes : 7, 5, 3, 1, -1… On descend bien de 2 à chaque pas. Et la différence constante montre au passage que la suite est arithmétique de raison -2, ce qui donnait la réponse immédiatement. Le signe moins porte sur TOUTE la parenthèse : -(7 - 2n) vaut -7 + 2n, et non -7 - 2n. Avec cette erreur on trouverait -2 - 4n, qui dépend de n — et l'on conclurait à tort qu'il faut discuter selon les valeurs de n. Trois façons de conclure, à choisir selon l'énoncé : Différence constante négative ⟹ décroissante. Suite arithmétique de raison r < 0 ⟹ décroissante. Coefficient de n négatif dans la formule explicite ⟹ décroissante. Les trois disent la même chose.