Somme des termes d'une suite géométrique

Énoncé

Soit (v_n) une suite géométrique de premier terme v_0 = 2 et de raison q = 3. Calculer la somme S = v_0 + v_1 + v_2 + v_3 + v_4 (5 termes au total).

Indice : Utilise la formule : S = v_0 1 - q^{n+1}{1 - q} où n est le rang du dernier terme.

Correction

1. Étape 1 : Pour une suite géométrique, l'appariement de Gauss ne marche plus : les termes ne sont pas régulièrement espacés. La formule est donc différente. Somme d'une suite géométrique : S = v_0 1 - q^{\,{nombre de termes}}{1 - q}, valable pour q 1
2. Étape 2 : On compte les termes : de v_0 à v_4, il y en a 5. C'est ce nombre qui va à l'exposant :

   S = v_0 1 - q^5{1 - q}

3. Étape 3 : On calcule la puissance en premier :

   q^5 = 3^5 = 243

4. Étape 4 : On remplace :

   S = 2 1 - 243{1 - 3} = 2 -242{-2}

5. Étape 5 : Les deux signes moins se simplifient :

   S = 2 121 = 242

6. Étape 6 : Contrôle direct, faisable ici car il n'y a que cinq termes : 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242. La formule est confirmée. L'exposant est le NOMBRE de termes, pas le dernier indice : De v_0 à v_4, il y a 5 termes, donc q^5 — et non q^4. Avec q^4 = 81, on obtiendrait S = 80, très loin du compte. Le contrôle direct l'attrape aussitôt. Deux signes moins qui se compensent : Quand q > 1, le numérateur ET le dénominateur sont négatifs, donc la somme est positive — c'est rassurant, puisqu'on additionne des nombres positifs. Un résultat négatif signale une erreur de signe, sans avoir à refaire le calcul.