Somme des termes d'une suite arithmétique

Énoncé

Soit (u_n) une suite arithmétique de premier terme u_0 = 5 et de raison r = 4. Calculer la somme S = u_0 + u_1 + u_2 + + u_{10} (11 termes au total).

Indice : Utilise la formule : S = (n+1) u_0 + u_n{2} où n est le rang du dernier terme.

Correction

1. Étape 1 : Additionner onze termes un par un est possible, mais long. La formule de la somme évite ce travail — et elle repose sur une idée simple, qu'on peut retrouver seul. Somme d'une suite arithmétique : S = (nombre de termes) {premier + dernier}{2}
2. Étape 2 : D'où vient cette formule. Écrivons la somme dans un sens, puis à l'envers, et apparions les termes : 5 + 9 + + 41 + 45 et 45 + 41 + + 9 + 5. Chaque paire donne 5 + 45 = 50, et il y a 11 paires — donc le double de la somme vaut 11 50. C'est l'astuce attribuée à Gauss, et elle explique le 2.
3. Étape 3 : Le dernier terme se calcule d'abord :

   u_{10} = u_0 + 10r = 5 + 40 = 45

4. Étape 4 : Le nombre de termes. De u_0 à u_{10}, il y en a 11 et non 10 — le rang 0 compte aussi.
5. Étape 5 : On applique :

   S = 11 5 + 45{2} = 11 25 = 275

6. Étape 6 : Contrôle par le terme moyen. La somme vaut 11 25, et 25 est exactement le terme du milieu (u_5 = 5 + 20 = 25). Ce n'est pas un hasard : dans une suite arithmétique, la moyenne des termes est le terme central. Compter les termes, pas les indices : De u_0 à u_{10} : 11 termes. De u_1 à u_{10} : 10 termes. Le nombre de termes est dernier indice - premier indice + 1. Ce « +1 » oublié donne 250 au lieu de 275. La formule se retient par sa forme : « Nombre de termes fois la moyenne des extrêmes ». Elle vaut pour toute suite arithmétique, quel que soit l'indice de départ — il suffit de compter correctement les termes.