Déterminer la raison d'une suite géométrique

Énoncé

Soit (v_n) une suite géométrique telle que v_1 = 12 et v_4 = 96. Déterminer la raison q et le premier terme v_0, puis donner la formule explicite de v_n.

Indice : Utilise le fait que v_4 = v_1 q^3 (car on passe de v_1 à v_4 en multipliant par q trois fois).

Correction

1. Étape 1 : Même raisonnement qu'au 25006, transposé au géométrique : le nombre de pas devient un exposant au lieu d'un facteur. De v_1 à v_4, il y a 3 pas, donc on multiplie par q^3.
2. Étape 2 : On écrit la relation :

   v_4 = v_1 q^3 96 = 12 q^3

3. Étape 3 : On isole q^3 :

   q^3 = 96{12} = 8

4. Étape 4 : On cherche le nombre dont le cube vaut 8. Comme 2^3 = 8 :

   q = 2

5. Étape 5 : On remonte à v_0, sachant que v_1 = v_0 q :

   12 = v_0 2 v_0 = 6

6. Étape 6 : La formule explicite, et sa vérification sur les deux données :

   v_n = 6 2^n v_1 = 12 \ v_4 = 6 16 = 96 \

7. Étape 7 : Ne pas diviser les indices : De v_1 à v_4, on multiplie par q TROIS fois, donc q^3 — et non q^4 ni q^4{q^1} écrit à la va-vite. Même règle qu'au 25006 : c'est la DIFFÉRENCE des indices qui compte, 4 - 1 = 3. Reconnaître les cubes usuels : 2^3 = 8, 3^3 = 27, 4^3 = 64, 5^3 = 125, 10^3 = 1000. Ces cinq valeurs couvrent la quasi-totalité des exercices, et évitent de chercher la racine cubique à la calculatrice.