Déterminer la raison d'une suite arithmétique

Énoncé

Soit (u_n) une suite arithmétique telle que u_2 = 7 et u_5 = 16. Déterminer la raison r et le premier terme u_0, puis donner la formule explicite de u_n.

Indice : Utilise le fait que u_5 = u_2 + 3r (car on passe de u_2 à u_5 en ajoutant r trois fois).

Correction

1. Étape 1 : On ne connaît ni u_0 ni r, mais deux termes. L'idée : le nombre de pas entre deux termes donne une équation. De u_2 à u_5, il y a 5 - 2 = 3 pas, donc trois fois la raison.
2. Étape 2 : On écrit la relation entre les deux termes connus :

   u_5 = u_2 + 3r 16 = 7 + 3r

3. Étape 3 : On résout :

   3r = 9 r = 3

4. Étape 4 : On remonte à u_0 avec la même idée : de u_0 à u_2, il y a deux pas.

   u_2 = u_0 + 2r 7 = u_0 + 6 u_0 = 1

5. Étape 5 : La formule explicite :

   u_n = 1 + 3n

6. Étape 6 : Vérification sur les DEUX données de l'énoncé — c'est ce qui rend la réponse sûre : u_2 = 1 + 6 = 7 ✓ et u_5 = 1 + 15 = 16 ✓. Compter les PAS, pas les termes : De u_2 à u_5 il y a 3 pas, et non 4 (bien qu'il y ait quatre termes : u_2, u_3, u_4, u_5). Le nombre de pas est la DIFFÉRENCE des indices : 5 - 2 = 3. Écrire 4r donnerait r = 2{,}25, et la vérification le montrerait. La formule générale, une fois pour toutes : u_p = u_k + (p - k)\,r pour deux indices quelconques. C'est la formule explicite qui ne part pas forcément de u_0 — pratique quand l'énoncé ne le donne pas.