Calculer un terme d'une suite géométrique

Énoncé

Soit (v_n) une suite géométrique de premier terme v_0 = 5 et de raison q = 3. Calculer v_4 et v_6 en utilisant la formule explicite.

Indice : Pour une suite géométrique : v_n = v_0 q^n.

Correction

1. Étape 1 : Application directe de la formule géométrique. Le point d'attention est l'ordre des opérations : on calcule d'abord la puissance, ensuite seulement on multiplie.
2. Étape 2 : La formule explicite :

   v_n = v_0 q^n = 5 3^n

3. Étape 3 : Pour v_4, on calcule 3^4 = 81, puis on multiplie :

   v_4 = 5 81 = 405

4. Étape 4 : Pour v_6, on calcule 3^6 = 729 :

   v_6 = 5 729 = 3\,645

5. Étape 5 : La croissance est spectaculaire : de 5 à 3\,645 en six pas, car chaque terme TRIPLE le précédent. C'est la marque du géométrique — une suite arithmétique de raison 3 n'aurait atteint que 5 + 18 = 23. La puissance AVANT la multiplication : 5 3^4 vaut 5 81 = 405, et non (53)^4 = 50\,625. C'est la priorité usuelle des opérations, mais elle s'oublie souvent quand la formule est écrite en une ligne. Un contrôle par la croissance : Chaque terme doit être le TRIPLE du précédent. Si v_4 = 405, alors v_5 doit valoir 1\,215 et v_6 trois fois plus, soit 3\,645. Deux multiplications de tête, et le résultat est confirmé sans refaire la puissance.