Calculer un terme d'une suite arithmétique

Énoncé

Soit (u_n) une suite arithmétique de premier terme u_0 = 10 et de raison r = -3. Calculer u_7 et u_{15} en utilisant la formule explicite.

Indice : Pour une suite arithmétique : u_n = u_0 + n r.

Correction

1. Étape 1 : Tout est donné : premier terme et raison. Il suffit d'écrire la formule explicite, puis de remplacer n. Le seul point d'attention est le signe — la raison est négative.
2. Étape 2 : La formule explicite, en gardant le signe de r :

   u_n = u_0 + nr = 10 + n (-3) = 10 - 3n

3. Étape 3 : Pour u_7 :

   u_7 = 10 - 3 7 = 10 - 21 = -11

4. Étape 4 : Pour u_{15} :

   u_{15} = 10 - 3 15 = 10 - 45 = -35

5. Étape 5 : Une raison négative fait DÉCROÎTRE la suite, et les termes finissent par devenir négatifs : 10, 7, 4, 1, -2… Il n'y a rien d'anormal à trouver -11. Le signe fait partie de la raison : r = -3 donne u_n = 10 - 3n, jamais 10 + 3n. Avec le mauvais signe on obtiendrait u_7 = 31 : la suite croîtrait, ce qui contredit une raison négative. Le SENS de variation est un contrôle gratuit. À partir de quand la suite devient-elle négative ? : 10 - 3n < 0 donne n > 10{3} 3{,}33, donc à partir de n = 4. Vérification : u_3 = 1 > 0 et u_4 = -2 < 0. Ce genre de question se résout avec une simple inéquation.