Reconnaître une suite géométrique

Énoncé

Soit la suite (v_n) définie par v_0 = 3 et v_{n+1} = 2 v_n pour tout n 0. a) Calculer v_1, v_2 et v_3. b) Quelle est la raison de cette suite géométrique ? c) Donner la formule explicite de v_n en fonction de n.

Indice : Une suite géométrique a une raison constante. La formule explicite est v_n = v_0 q^n.

Correction

1. Étape 1 : Même structure qu'au 25002, avec une seule différence : on multiplie au lieu d'ajouter. Suite géométrique : On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, appelé la raison : v_{n+1} = q v_n. Formule explicite : v_n = v_0 q^n
2. Étape 2 : a) Chaque terme est le double du précédent :

   v_1 = 2 3 = 6 v_2 = 2 6 = 12 v_3 = 2 12 = 24

3. Étape 3 : b) La raison est le multiplicateur, lu dans v_{n+1} = 2v_n :

   q = 2

4. Étape 4 : c) Pour aller de v_0 à v_n, on multiplie par q exactement n fois, donc on obtient q^n :

   v_n = v_0 q^n = 3 2^n

5. Étape 5 : Vérification : v_0 = 3 1 = 3, v_2 = 3 4 = 12, v_3 = 3 8 = 24. Tout concorde. 3 2^n n'est pas (3 2)^n : La puissance porte sur la RAISON seule, jamais sur le premier terme. (3 2)^3 = 216 alors que 3 2^3 = 24. L'écart est énorme, et il se voit dès la vérification sur v_1. Arithmétique ou géométrique : le test en dix secondes : Calculer les DIFFÉRENCES entre termes consécutifs : constantes ⟹ arithmétique. Calculer les QUOTIENTS : constants ⟹ géométrique. Ici 6-3 = 3 mais 12-6 = 6 : pas arithmétique. En revanche 6{3} = 12{6} = 2 : géométrique.