Reconnaître une suite arithmétique

Énoncé

Soit la suite (u_n) définie par u_0 = 5 et u_{n+1} = u_n + 4 pour tout n 0. a) Calculer u_1, u_2 et u_3. b) Quelle est la raison de cette suite arithmétique ? c) Donner la formule explicite de u_n en fonction de n.

Indice : Une suite arithmétique a une raison constante. La formule explicite est u_n = u_0 + n r.

Correction

1. Étape 1 : La suite est définie par récurrence : on ne connaît pas u_n directement, mais on sait passer d'un terme au suivant. Il faut donc calculer de proche en proche. Suite arithmétique : On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, appelé la raison : u_{n+1} = u_n + r. Formule explicite : u_n = u_0 + nr
2. Étape 2 : a) Chaque terme s'obtient en ajoutant 4 au précédent :

   u_1 = 5 + 4 = 9 u_2 = 9 + 4 = 13 u_3 = 13 + 4 = 17

3. Étape 3 : b) La raison est le nombre qu'on ajoute à chaque pas. On le lit dans la relation u_{n+1} = u_n + 4 :

   r = 4

4. Étape 4 : c) Pour aller de u_0 à u_n, on ajoute r exactement n fois. D'où la formule explicite :

   u_n = u_0 + n r = 5 + 4n

5. Étape 5 : Vérification, indispensable et gratuite : la formule doit redonner les termes déjà calculés. u_0 = 5, u_1 = 5+4 = 9, u_3 = 5+12 = 17. Les trois correspondent. Ajouter r n fois, pas n+1 fois : Pour atteindre u_3 depuis u_0, on fait TROIS pas — pas quatre. Écrire u_n = u_0 + (n+1)r donnerait u_3 = 5 + 16 = 21, et la vérification ci-dessus l'attraperait immédiatement. Récurrence ou explicite : deux usages différents : La relation de récurrence est commode pour les premiers termes, mais pour u_{100} il faudrait cent additions. La formule explicite donne n'importe quel terme en un calcul. C'est tout l'intérêt de la question c).