Calculer les premiers termes d'une suite

Énoncé

Soit la suite (u_n) définie par u_n = 3n + 2 pour n 0. Calculer u_0, u_1, u_2 et u_5.

Indice : Remplace n par les valeurs données dans la formule u_n = 3n + 2.

Correction

1. Étape 1 : Une suite est une liste de nombres numérotés. Ici la formule donne directement le terme de rang n : on remplace n par le rang voulu, et c'est tout. L'écriture u_5 se lit « u indice 5 » : c'est le sixième terme si l'on compte à partir de u_0.
2. Étape 2 : Pour u_0, on remplace n par 0 :

   u_0 = 3 0 + 2 = 2

3. Étape 3 : Pour u_1 :

   u_1 = 3 1 + 2 = 5

4. Étape 4 : Pour u_2 :

   u_2 = 3 2 + 2 = 8

5. Étape 5 : Pour u_5, inutile de calculer u_3 et u_4 d'abord — la formule donne le terme directement :

   u_5 = 3 5 + 2 = 17

6. Étape 6 : Ce que la liste montre. 2, 5, 8, puis 17 : on ajoute 3 à chaque pas. Ce n'est pas un hasard, c'est le coefficient de n dans la formule — on le retrouvera au 25002 sous le nom de raison. u_n n'est pas un produit : u_5 ne signifie pas u 5 : le 5 est un NUMÉRO, pas un facteur. C'est comme un numéro de place dans une file : u_5 désigne le nombre qui occupe la place 5. Le rang et le nombre de termes ne coïncident pas : Si la suite commence à u_0, alors u_5 est le SIXIÈME terme. Ce décalage d'une unité est la source d'erreur numéro un du chapitre — voir le 25011, où « la 8ᵉ année » correspond à n = 7.