Taux moyen

Énoncé

Un capital triple en 2 ans. a) Quel est le coefficient multiplicateur global ? b) Calculer le taux moyen annuel. c) Vérifier en calculant la valeur du capital après 2 ans avec ce taux moyen.

Indice : Taux moyen : k_m = ⁿ√(k_global) où n est le nombre d'années.

Correction

1. Étape 1 : Le taux moyen est celui qui, répété sur toute la période, donne la même évolution globale. C'est donc le 24010 pris à l'envers : on connaît k^n, on cherche k. Taux moyen : k_{moyen} = [n]{k_{global}}, puis t = k_{moyen} - 1
2. Étape 2 : a) Tripler signifie multiplier par 3 :

   k_{global} = 3

3. Étape 3 : b) Sur deux ans, on cherche k tel que k^2 = 3, donc la racine carrée :

   k_m = 3 1{,}732

4. Étape 4 : D'où le taux moyen annuel :

   t_m = 1{,}732 - 1 = 0{,}732 = +73{,}2\,\%

5. Étape 5 : c) Vérification, en repartant de 100 :

   100 1{,}732 = 173{,}2 173{,}2 1{,}732 300 \

6. Étape 6 : Le taux moyen n'est PAS la moyenne des taux. Tripler, c'est +200\,\% en deux ans ; la moitié ferait +100\,\% par an, donc un doublement chaque année — soit un quadruplement en deux ans, et non un triplement. Diviser le taux global par le nombre d'années est faux : 200{2} = 100\,\% par an donnerait 100 200 400 : on quadruple au lieu de tripler. Le bon taux, 73{,}2\,\%, est plus PETIT — parce que la seconde année s'applique à une base déjà augmentée. Racine carrée pour 2 ans, racine n-ième pour n ans : À la calculatrice, la racine n-ième s'obtient par la touche x^{1/n} ou [n]{\ }. Et le contrôle est toujours le même : élever le coefficient trouvé à la puissance n doit redonner le coefficient global.