Calculs complexes avec évolutions successives

Énoncé

Un prix subit trois évolutions successives : - Une augmentation de 10\% - Une diminution de 15\% - Une augmentation de 20\% a) Calculer le coefficient multiplicateur global. b) En déduire le taux d'évolution global. c) Si le prix initial était de 200 €, calculer le prix final.

Indice : Coefficient global : k_global = k₁ × k₂ × k₃.

Correction

1. Étape 1 : Trois évolutions successives, de taux différents : la méthode du 24007 s'applique sans changement, avec un facteur de plus.
2. Étape 2 : Les trois coefficients, en soignant les signes :

   k_1 = 1{,}10 k_2 = 0{,}85 k_3 = 1{,}20

3. Étape 3 : a) Le produit, à calculer en une fois pour éviter les arrondis intermédiaires :

   k_{global} = 1{,}10 0{,}85 1{,}20 = 1{,}122

4. Étape 4 : b) Le taux global :

   t = 1{,}122 - 1 = 0{,}122 = +12{,}2\,\%

5. Étape 5 : c) Sur un prix de 200 € :

   200 1{,}122 = 224{,}40 €

6. Étape 6 : Contrôle par le parcours détaillé : 200 220 187 224{,}40 ✓. On retrouve bien le prix final, ce qui valide le coefficient global.
7. Étape 7 : L'addition naïve donnerait +15\,\%, soit 230 € — près de six euros de trop. L'écart vient de ce que la baisse de 15\,\% s'applique à 220 € et retire donc 33 €, quand les hausses portent sur des bases différentes. L'ordre ne change pas le résultat FINAL, mais change tout le reste : 1{,}10 0{,}85 1{,}20 vaut 1{,}122 dans n'importe quel ordre, car la multiplication est commutative. En revanche les valeurs intermédiaires diffèrent complètement — et c'est elles qu'on demande dans la plupart des problèmes concrets. Ne pas arrondir en cours de route : Calculer 1{,}10 0{,}85 = 0{,}935 puis arrondir à 0{,}94 donnerait 1{,}128 au lieu de 1{,}122, soit 1{,}20 € d'écart sur le prix. On arrondit une seule fois, à la toute fin.