Évolutions identiques successives

Énoncé

Un capital de 1000 € augmente de 5\% chaque année pendant 3 ans. a) Calculer le coefficient multiplicateur annuel. b) Calculer le coefficient multiplicateur global sur 3 ans. c) Calculer la valeur du capital après 3 ans.

Indice : Pour n évolutions identiques : k_global = (1 + t)ⁿ.

Correction

1. Étape 1 : Trois évolutions identiques se traitent comme au 24007 — on multiplie les coefficients — mais comme ils sont tous égaux, le produit devient une puissance. Évolutions identiques répétées : k_{global} = k^{\,n} pour n évolutions au même taux
2. Étape 2 : a) Le coefficient annuel :

   k = 1 + 0{,}05 = 1{,}05

3. Étape 3 : b) Sur trois ans, on multiplie trois fois par 1{,}05 :

   k_{global} = (1{,}05)^3 = 1{,}157625

4. Étape 4 : c) Le capital final :

   V_3 = 1\,000 1{,}157625 = 1\,157{,}63 €

5. Étape 5 : Le détail année par année, qui confirme : 1\,000 1\,050 1\,102{,}50 1\,157{,}63. Chaque année rapporte un peu plus que la précédente, car les intérêts rapportent à leur tour.

   50 € puis 52{,}50 € puis 55{,}13 €

6. Étape 6 : La hausse globale est de 15{,}76\,\%, et non 15\,\% : les 0{,}76 points d'écart sont précisément les intérêts des intérêts. Multiplier le taux par le nombre d'années est FAUX : 3 5\,\% = 15\,\% donnerait 1\,150 € : il manque 7{,}63 €. L'écart paraît petit sur trois ans, mais il grandit vite : sur vingt ans, (1{,}05)^{20} = 2{,}65, soit +165\,\% contre +100\,\% pour le calcul naïf. Un ordre de grandeur pour contrôler : 5\,\% pendant 3 ans, c'est « un peu plus de 15\,\% ». Trouver 1\,157 € est cohérent ; trouver 1\,500 € ou 1\,050 € signalerait une erreur d'exposant.