Taux d'évolution réciproque

Énoncé

Un prix augmente de 25\%. a) Quel est le coefficient multiplicateur de cette évolution ? b) Quel taux faut-il appliquer pour revenir au prix initial ? c) Vérifier avec un prix initial de 100 €.

Indice : Taux réciproque : t' = -t / (1 + t).

Correction

1. Étape 1 : Le taux réciproque est celui qui annule une évolution. C'est une application directe du 24007 : les deux coefficients doivent se multiplier pour donner 1. Taux réciproque : k' = 1{k}, donc t' = 1{k} - 1 = -t{1+t}
2. Étape 2 : a) Le coefficient de la hausse :

   k = 1 + 0{,}25 = 1{,}25

3. Étape 3 : b) Le coefficient réciproque est son inverse :

   k' = 1{1{,}25} = 0{,}80

4. Étape 4 : D'où le taux :

   t' = 0{,}80 - 1 = -0{,}20 = -20\,\%

5. Étape 5 : c) Vérification sur 100 € :

   100 1{,25} 125 0{,80} 100 \

6. Étape 6 : Pourquoi -20 et non -25. Après la hausse, le prix vaut 125 €. Il faut en retirer 25 €, et 25 rapporté à 125 fait 20\,\% — pas 25\,\%. La baisse porte sur une base plus grande, elle a donc besoin d'un taux plus petit. Une baisse de 25 % ne compense PAS une hausse de 25 % : 100 1{,}25 = 125, puis 125 0{,}75 = 93{,}75 : on perd 6{,}25 €. C'est le calcul à faire une fois pour s'en convaincre définitivement — et il explique pourquoi une remise de 30\,\% après une hausse de 30\,\% n'est pas une opération neutre. Le contrôle tient en une multiplication : k k' doit valoir exactement 1. Ici 1{,}25 0{,}80 = 1 ✓. Si le produit ne fait pas 1, le taux réciproque est faux — c'est immédiat et sans appel.