Évolutions successives

Énoncé

Un prix subit deux évolutions successives : une augmentation de 20\% puis une diminution de 15\%. a) Calculer le coefficient multiplicateur global. b) En déduire le taux d'évolution global. c) Si le prix initial était de 100 €, quel est le prix final ?

Indice : Coefficient global : k_global = k₁ × k₂. Taux global : t_global = k_global - 1.

Correction

1. Étape 1 : Voici le point le plus important du chapitre, et le plus contre-intuitif : Les taux ne s'ajoutent pas : Pour enchaîner deux évolutions, on MULTIPLIE les coefficients, on n'ajoute jamais les taux. k_{global} = k_1 k_2 La raison : la seconde évolution s'applique à la valeur DÉJÀ modifiée, pas à celle de départ.
2. Étape 2 : a) Les deux coefficients :

   k_1 = 1 + 0{,}20 = 1{,}20 k_2 = 1 - 0{,}15 = 0{,}85

3. Étape 3 : Le coefficient global est leur produit :

   k_{global} = 1{,}20 0{,}85 = 1{,}02

4. Étape 4 : b) Le taux global s'en déduit en retranchant 1 :

   t = 1{,}02 - 1 = 0{,}02 = +2\,\%

5. Étape 5 : c) Sur un prix de 100 € :

   100 1{,}02 = 102 €

6. Étape 6 : Le détail du parcours, pour bien voir d'où vient le 2\,\%. Le prix monte à 100 1{,}2 = 120 €. La baisse de 15\,\% porte alors sur 120 et vaut 18 €, pas 15 € — d'où 120 - 18 = 102 €. La hausse a donc « agrandi » la baisse, mais pas assez pour tout annuler.

   100 +20\% 120 -15\% 102

7. Étape 7 : +20 % puis -15 % ne fait PAS +5 % : Ajouter les taux donne +5\,\%, soit 105 € : trois euros de trop. Et le sens de l'enchaînement ne change rien — 0{,}85 1{,}20 vaut aussi 1{,}02 — mais les valeurs intermédiaires diffèrent, ce qui compte dès qu'on demande un prix à mi-parcours. Retenir un cas d'école : +10\,\% puis -10\,\% donne 1{,}1 0{,}9 = 0{,}99, soit -1\,\% : on ne revient jamais au point de départ. Une fois ce cas en tête, l'erreur d'addition ne revient plus.