Calculer une valeur initiale

Énoncé

Trouver la valeur initiale dans les cas suivants : a) Après une augmentation de 20\%, un prix est de 120 €. b) Après une diminution de 15\%, une population est de 6800 habitants. c) Après une augmentation de 30\%, un salaire est de 2600 €.

Indice : Valeur initiale : V₀ = V₁ / (1 + t).

Correction

1. Étape 1 : On connaît la valeur d'arrivée et le taux, on cherche le départ. Puisque l'aller se fait en multipliant par k, le retour se fait en divisant par k.
2. Étape 2 : a) Une hausse de 20\,\% correspond à k = 1{,}20 :

   V_0 = 120{1{,}20} = 100 €

3. Étape 3 : b) Une baisse de 15\,\% correspond à k = 0{,}85 :

   V_0 = 6\,800{0{,}85} = 8\,000

4. Étape 4 : Diviser par un nombre inférieur à 1 AUGMENTE le résultat, ce qui est logique : on remonte une baisse.
5. Étape 5 : c) k = 1{,}30 :

   V_0 = 2\,600{1{,}30} = 2\,000 €

6. Étape 6 : Vérification des trois, en refaisant l'aller : 100 1{,}2 = 120 ✓, 8\,000 0{,}85 = 6\,800 ✓, 2\,000 1{,}3 = 2\,600 ✓. Ne PAS retrancher le pourcentage à la valeur finale : Pour a), calculer 120 - 20\,\% de 120 = 96 est faux : la valeur initiale est 100. La raison est que le pourcentage s'appliquait à 100, pas à 120. C'est le même piège qu'au 24008 sur le taux réciproque. Le sens de l'opération se déduit du sens de l'évolution : On REMONTE une hausse ⟹ le résultat doit être plus petit que la valeur finale (division par k > 1). On REMONTE une baisse ⟹ il doit être plus grand (division par k < 1). Un résultat du mauvais côté signale une multiplication au lieu d'une division.